Studium und Wissenschaft

Prüfe Hausaufgaben und Laborarbeiten mit Einheiten, die bei jedem Schritt mitgeführt werden, werte deine Ergebnisse statistisch aus und löse Gleichungen, die sich von Hand nur mühsam umstellen lassen. Kommt eine Einheit im Ergebnis falsch heraus, weißt du, dass du dir die Formel noch einmal ansehen solltest.

Physik mit Einheiten

Gib jeder Größe ihre Einheit und lass Varlig den Überblick behalten. Kilometer pro Stunde, Meter pro Sekunde zum Quadrat und Kilogramm ergeben für jedes Ergebnis die richtige Einheit.

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# Ein Auto bremst stark aus 108 km/h

Geschwindigkeit = 108 km/h in m/s ergibt 30 m/s

Verzögerung = 6 m/s²

Bremsweg = Geschwindigkeit^2 / (2 * Verzögerung) ergibt 75 m

Bremszeit = Geschwindigkeit / Verzögerung ergibt 5 s

Masse = 1200 kg

kinetische Energie = 0.5 * Masse * Geschwindigkeit^2 in kJ ergibt 540 kJ

Bremskraft = Masse * Verzögerung ergibt 7,200 N

Bremskraft * Bremsweg in kJ ergibt 540 kJ

Rechnest du die Geschwindigkeit zuerst in Meter pro Sekunde um, bleiben alle späteren Ergebnisse in SI-Einheiten. Kraft mal Weg ergibt Arbeit, die letzten beiden Zeilen bestätigen also, dass die Bremsen die gesamte kinetische Energie abbauen. Multiplizierst du, wo die Formel teilen müsste, zeigt das Ergebnis eine verworrene Einheit wie (m/s)²·m/s² statt Metern, ein schnelles Zeichen, deinen Rechenweg zu prüfen. Siehe Rechnen mit Einheiten und Potenzen und Wurzeln.

Konstanten und Einheiten aus dem Tafelwerk

Datenbücher schreiben Einheiten mit Punkten, Schrägstrichen, Klammern und Hochzahlen. Tipp sie so, wie sie gedruckt sind, und die Formel kommt in der Einheit heraus, in der sie herauskommen soll.

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# Einen halben Liter Wasser um 20 Grad erwärmen

4186 J/kg/°C * 0.5 kg * 20 °C ergibt 41,860 J

# Die Gravitationskonstante, so wie sie im Tafelwerk steht

G = 6.674e-11 N·m²/kg² ergibt 6.674e-11 N·m²/kg²

G * 5.972e24 kg * 80 kg / (6371 km)^2 ergibt 785.5625626253 N

1 N in kg*m/s^2 ergibt 1 kg·m/s²

1 kg·m²/s² in J ergibt 1 J

# Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe

Mach 1 in km/h ergibt 1,225.044 km/h

*, · und ⋅ multiplizieren alle, ^2 und ² quadrieren beide, und ein geklammerter Nenner fasst alles darin zusammen. Basiseinheiten, die zusammen eine benannte Einheit ergeben, bekommen deren Namen, die Gewichtskraft einer 80 kg schweren Person kommt also in Newton heraus; fragst du kg*m/s^2 zurück, bekommst du genau das. Eine Wärmekapazität als J/kgK, mit dem Kelvin direkt angehängt, wird ebenfalls als J/(kg·K) gelesen. Siehe Einheiten aus Lehrbuch und Datenblatt.

Konzentrationen und Lösungen

Chemie und Biologie geben dieselbe Menge als Prozentwert, als Molarität oder in Teilen pro Million an. Varlig rechnet zwischen ihnen um und behandelt einen Anteil an Wasser als Konzentration.

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# 0,00243 mol auf 25,0 cm³ aufgefüllt

0.00243 mol / 25.0 cm³ ergibt 0.0972 mol/L

# Kochsalzlösung mit 0,9 %

0.9% in g/L ergibt 9 g/L

# Chlor mit 2 ppm

2 ppm in % ergibt 0.0002%

1 ppm in mg/L ergibt 1 mg/L

# Ein 200-L-Becken auf 20 ppm dosieren

20 ppm * 200 L in g ergibt 4 g

# Meerwasser, etwa 35 Promille

35 ppt of 150 kg ergibt 5.25 kg

Eine kleine Menge, abgemessen in Kubikzentimetern, erscheint pro Liter, und genau in dieser Einheit wird eine Molarität angegeben. Teile pro Million Wasser wiegen wie das Wasser, eine Dosierung in ppm mal einem Volumen ergibt also Gramm. ppt sind Teile pro Tausend, so wie der Salzgehalt geschrieben wird. Siehe Teile pro Tausend, Million und Milliarde.

Statistik für Messergebnisse

Schreib wiederholte Messungen in eine Liste, um Mittelwert, Streuung und die Abweichung vom Literaturwert zu erhalten.

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# Pendelmessungen von g

Messwerte = [9.74 m/s², 9.86 m/s², 9.79 m/s², 9.83 m/s², 9.88 m/s²]

Mittelwert = average(Messwerte) ergibt 9.82 m/s²

Streuung = stddev(Messwerte)

Streuung to 2 sf ergibt 0.056 m/s²

Standardfehler: Streuung / sqrt(count(Messwerte)) to 2 sf ergibt 0.025 m/s²

Literaturwert = 9.81 m/s²

Abweichung: (Mittelwert - Literaturwert) / Literaturwert as % to 2 dp ergibt 0.1%

average und stddev behalten die Einheiten deiner Messwerte. stddev ist die Standardabweichung der Stichprobe, die übliche Wahl bei wiederholten Messungen. Eine Beschriftung vor dem Doppelpunkt sagt, was eine Zeile berechnet, und to 2 sf rundet jede Zeile auf signifikante Stellen, egal ob Name, Formel oder Ergebnis einer Funktion. Schreib die Abkürzung so, wie es in deinem Fach üblich ist: sf, SF, s.f., sig fig und sig. figs funktionieren alle. Eine Null, die zu den angeforderten Stellen gehört, bleibt stehen, 31.0357 m to 3 sf ergibt also 31,0 m statt 31 m, und das Ergebnis zeigt die Genauigkeit, die du tatsächlich hast. to 2 dp rundet stattdessen auf Nachkommastellen und lässt Nullen am Ende weg. Siehe Kennzahlen, Streuung und Signifikante Stellen.

Gleichungen lösen

Gib solve eine Gleichung, die Unbekannte und einen Suchbereich. Für lineare Gleichungssysteme verwendest du solve_system.

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# Nullstellen von x^2 + 3x - 10 = 0

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, 0, 5) ergibt 2

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, -10, 0) ergibt -5

# Ein Stein fällt aus 45 m Höhe: Wann schlägt er auf?

solve(4.9t^2 = 45, t, 0, 10) to 2 dp ergibt 3.03

# 2x + 3y = 13 und x - y = -1

solve_system([[2, 3], [1, -1]], [13, -1]) ergibt [2, 3]

solve findet eine Nullstelle zwischen den beiden Grenzen, wähle die Grenzen also so, dass die gesuchte Lösung dazwischen liegt. Schreib die Gleichung so, wie sie auf dem Papier aussieht: 4.9t^2 quadriert t, bevor multipliziert wird. solve_system nimmt die Koeffizienten Zeile für Zeile entgegen und liefert x und y der Reihe nach. Siehe Eine Nullstelle numerisch finden und Ein lineares Gleichungssystem lösen.

Schnelle Mathe-Checks

Prüfe eine Formel gegen eine direkte Rechnung, oder kontrolliere eine Ableitung oder ein Integral, bevor du deine Arbeit abgibst.

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# Summe der ersten 20 Quadratzahlen, auf zwei Wegen

sum(k^2, k, 1, 20) ergibt 2,870

20 * 21 * 41 / 6 ergibt 2,870

# Steigung von x^3 - 4x an der Stelle x = 2

derivative(x^3 - 4*x, x, 2) ergibt 8

# Fläche unter x^2 von 0 bis 3

integrate(x^2, x, 0, 3) ergibt 9

# Möglichkeiten, 3 Personen aus 10 auszuwählen

10 choose 3 ergibt 120

# Möglichkeiten, 5 Personen in eine Reihe zu stellen

5! ergibt 120

sind(30) ergibt 0.5

Stimmen die direkte Summe und die Formel überein, kannst du der Formel auch bei größeren Zahlen vertrauen. derivative mit einer Stelle liefert die Steigung dort, und integrate die Fläche zwischen zwei Grenzen. Siehe Endliche Summen und Produkte, Numerisches Ableiten und Bestimmte Integrale.

Ideen zum Anpassen

Rechne Testpunkte von 40 in einer Zeile in Prozent um: [34, 29, 38] / 40 * 100.
Plan die Prüfungsvorbereitung: 40 hours at 4 hours a week ergibt 10 Wochen, und 2 hours in 15 min teilt eine Lerneinheit in 8 Blöcke.
Lies einen Anteil direkt aus den Zahlen ab: 5 kg of 20 kg sind 25 % und 20 min of 1 hour sind 33.3333333333 %.
Rechne in Grad, ohne etwas umzustellen: cos(30 deg) ergibt 0.8660254038, und 1/4 turn in degrees ergibt 90°.
Leite eine Formel mit Konstanten ab, etwa differentiate(a*x^2 + b*x, x), ohne a und b vorher einen Wert zu geben. Siehe Symbolisches Ableiten.
Prüfe einen Stromkreis: 12 V * 2 A ergibt 24 W, und 5000 mAh / 500 mA zeigt, dass ein Akku 10 Stunden hält.
Finde heraus, wie schnell ein Stein aufschlägt, den du aus 45 m fallen lässt: sqrt(2 * 9.81 m/s² * 45 m) to 3 sf ergibt 29,7 m/s.
Mach aus einer Periodendauer eine Frequenz: 1 / 0.02 s in Hz ergibt 50 Hz, und 60 rpm in Hz ergibt 1 Hz, denn beide zählen dieselben Umdrehungen.
Berechne einen U-Wert aus Dicke und Wärmeleitfähigkeit: 0.27 m / (0.04 W/mK) ergibt 6.75 m²·K/W, und 1 / (6.75 m²·K/W) macht daraus wieder 0.1481481481 W/(m²·K).
Speichere eine Formel, die du oft brauchst, als Funktion: Ekin(Masse, Geschwindigkeit) = 0.5 * Masse * Geschwindigkeit^2, dann Ekin(1200 kg, 30 m/s) in kJ. Siehe Eigene Funktionen.