공부와 과학

모든 단계에 단위가 따라가는 계산으로 숙제와 실험 결과를 확인하고, 측정값의 통계를 내고, 손으로 정리하기 까다로운 방정식을 풀어 보세요. 답의 단위가 이상하게 나오면 공식을 다시 살펴봐야 한다는 신호예요.

단위와 함께하는 물리

모든 물리량에 단위를 붙이고 나머지는 Varlig에 맡기세요. 시속 킬로미터, 초당 미터 제곱(m/s²), 킬로그램이 서로 조합되어 답마다 알맞은 단위가 나와요.

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# 108 km/h로 달리다 급제동하는 자동차

속도 = 108 km/h in m/s 결과 30 m/s

감속도 = 6 m/s²

제동 거리 = 속도^2 / (2 * 감속도) 결과 75 m

정지 시간 = 속도 / 감속도 결과 5 s

질량 = 1200 kg

운동 에너지 = 0.5 * 질량 * 속도^2 in kJ 결과 540 kJ

제동력 = 질량 * 감속도 결과 7,200 N

제동력 * 제동 거리 in kJ 결과 540 kJ

속도를 먼저 초속 미터로 바꿔 두면 이후의 답이 모두 SI 단위로 나와요. 힘에 거리를 곱하면 일이 되므로, 마지막 두 줄은 브레이크가 운동 에너지를 모두 없앤다는 걸 확인해 줘요. 공식에서 나눠야 할 곳을 곱하면 미터 대신 (m/s)²·m/s² 같은 복잡한 단위가 나오니, 풀이를 다시 확인하라는 신호로 삼으세요. 단위를 사용한 계산과 거듭제곱과 제곱근을 참고하세요.

상수와 교과서 단위

자료집의 단위에는 점, 슬래시, 괄호, 위 첨자가 섞여 있어요. 인쇄된 그대로 입력하면 공식이 알맞은 단위로 계산돼요.

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# 물 0.5리터를 20도 올리기

4186 J/kg/°C * 0.5 kg * 20 °C 결과 41,860 J

# 자료집에 인쇄된 그대로의 만유인력 상수

G = 6.674e-11 N·m²/kg² 결과 6.674e-11 N·m²/kg²

G * 5.972e24 kg * 80 kg / (6371 km)^2 결과 785.5625626253 N

1 N in kg*m/s^2 결과 1 kg·m/s²

1 kg·m²/s² in J 결과 1 J

# 해수면에서의 음속

Mach 1 in km/h 결과 1,225.044 km/h

*, ·, ⋅는 모두 곱셈이고 ^2와 ²는 모두 제곱이며, 괄호로 묶은 분모는 안에 있는 전체를 하나로 묶어요. 이름이 있는 단위와 같은 조합의 기본 단위는 그 이름으로 표시되므로, 몸무게 80 kg인 사람에게 작용하는 힘은 뉴턴으로 나와요. 다시 kg*m/s^2로 물어보면 그 형태 그대로 나오고요. 켈빈을 붙여 J/kgK로 쓴 비열도 J/(kg·K)로 읽혀요. 교과서나 데이터시트에 적힌 단위를 참고하세요.

농도와 용액

화학과 생물에서는 같은 양을 퍼센트로도, 몰농도로도, 백만분율로도 적어요. Varlig는 이들 사이를 변환하고, 물에 녹인 비율은 농도로 다뤄요.

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# 0.00243 mol을 25.0 cm³로 맞춤

0.00243 mol / 25.0 cm³ 결과 0.0972 mol/L

# 0.9% 생리식염수

0.9% in g/L 결과 9 g/L

# 2 ppm 염소

2 ppm in % 결과 0.0002%

1 ppm in mg/L 결과 1 mg/L

# 200 L 수조를 20 ppm으로 맞추기

20 ppm * 200 L in g 결과 4 g

# 바닷물, 약 35 ppt

35 ppt of 150 kg 결과 5.25 kg

세제곱센티미터로 잰 적은 양은 리터당 값으로 읽히는데, 몰농도를 적는 단위가 바로 그거예요. 물의 백만분율은 물과 같은 무게이므로 ppm 농도에 부피를 곱하면 그램이 나와요. ppt는 염도를 적을 때 쓰는 천분율이에요. 천분율, 백만분율, 십억분율을 참고하세요.

실험 결과 통계

반복해서 잰 측정값을 목록에 넣으면 평균, 흩어진 정도, 기준값과의 차이를 구할 수 있어요.

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# 진자로 측정한 g

측정값 = [9.74 m/s², 9.86 m/s², 9.79 m/s², 9.83 m/s², 9.88 m/s²]

측정 평균 = average(측정값) 결과 9.82 m/s²

표준편차 = stddev(측정값)

표준편차 to 2 sf 결과 0.056 m/s²

표준오차: 표준편차 / sqrt(count(측정값)) to 2 sf 결과 0.025 m/s²

기준값 = 9.81 m/s²

차이: (측정 평균 - 기준값) / 기준값 as % to 2 dp 결과 0.1%

average와 stddev 함수는 측정값의 단위를 유지해요. stddev 함수는 표본 표준편차로, 반복 측정에서 흔히 쓰는 값이에요. 콜론 앞의 레이블은 각 줄이 무엇인지 알려 주고, to 2 sf 표현은 이름이든 공식이든 함수의 답이든 어떤 줄이든 유효숫자로 반올림해요. 약어는 분야에서 쓰는 대로 쓰면 되므로 sf, SF, s.f., sig fig, sig. figs 모두 동작해요. 요청한 자릿수에 들어가는 0은 그대로 남으므로 31.0357 m to 3 sf는 31 m가 아니라 31.0 m이고, 실제로 가진 정밀도가 그대로 보여요. 소수 자릿수로 반올림하려면 to 2 dp 표현을 쓰세요. 이때는 끝자리 0이 떨어져 나가요. 요약 통계, 산포도, 유효숫자를 참고하세요.

방정식 풀기

solve 함수에 방정식, 미지수, 찾을 범위를 넘겨주세요. 연립일차방정식에는 solve_system 함수를 쓰세요.

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# x^2 + 3x - 10 = 0의 근

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, 0, 5) 결과 2

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, -10, 0) 결과 -5

# 45 m 높이에서 떨어뜨린 돌은 언제 땅에 닿을까?

solve(4.9t^2 = 45, t, 0, 10) to 2 dp 결과 3.03

# 2x + 3y = 13, x - y = -1

solve_system([[2, 3], [1, -1]], [13, -1]) 결과 [2, 3]

solve 함수는 두 범위 사이에서 근을 하나 찾기 때문에, 원하는 근을 사이에 두도록 범위를 정하세요. 방정식은 종이에 쓰는 모양 그대로 적으면 돼요. 4.9t^2에서는 곱하기 전에 t를 먼저 제곱해요. solve_system 함수는 계수를 행 단위로 받아 x와 y를 순서대로 돌려줘요. 수치 근 하나 찾기와 연립일차방정식 풀기를 참고하세요.

간단한 수학 검산

공식을 직접 계산한 결과와 맞춰 보거나, 과제를 내기 전에 미분과 적분 결과를 확인하세요.

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# 1부터 20까지 제곱의 합, 두 가지 방법

sum(k^2, k, 1, 20) 결과 2,870

20 * 21 * 41 / 6 결과 2,870

# x = 2에서 x^3 - 4x의 기울기

derivative(x^3 - 4*x, x, 2) 결과 8

# 0부터 3까지 x^2 아래의 넓이

integrate(x^2, x, 0, 3) 결과 9

# 10명 중 3명을 고르는 경우의 수

10 choose 3 결과 120

# 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수

5! 결과 120

sind(30) 결과 0.5

직접 더한 합과 공식의 결과가 같으면, 더 큰 수에서도 그 공식을 믿을 수 있어요. 점을 함께 넘긴 derivative 함수는 그 점에서의 기울기를, integrate 함수는 두 범위 사이의 넓이를 알려 줘요. 유한 합과 곱, 수치 미분, 정적분을 참고하세요.

나에게 맞게 바꿔 보기

40점 만점 시험 점수를 한 줄로 퍼센트로 바꾸기: [34, 29, 38] / 40 * 100.
공부 속도 가늠하기: 40 hours at 4 hours a week 줄은 10주를 알려 주고, 2 hours in 15 min 줄은 한 번의 공부를 8개 블록으로 나눠요.
수치에서 곧바로 몫 읽기: 5 kg of 20 kg은 25%, 20 min of 1 hour는 33.3333333333%예요.
설정을 바꾸지 않고 도 단위로 계산하기: cos(30 deg)는 0.8660254038, 1/4 turn in degrees는 90°예요.
a와 b에 값을 먼저 정하지 않고도 differentiate(a*x^2 + b*x, x)처럼 상수가 들어간 공식을 미분할 수 있어요. 기호 미분을 참고하세요.
회로 확인하기: 12 V * 2 A 줄은 24 W를 알려 주고, 5000 mAh / 500 mA 줄은 배터리가 10시간 간다는 걸 보여 줘요.
45 m 높이에서 떨어뜨린 돌이 땅에 닿을 때의 속도 구하기: sqrt(2 * 9.81 m/s² * 45 m) to 3 sf 줄은 29.7 m/s를 알려 줘요.
주기를 주파수로 바꾸기: 1 / 0.02 s in Hz 줄은 50 Hz를, 60 rpm in Hz 줄은 1 Hz를 알려 줘요. 둘 다 같은 회전 수를 세니까요.
두께와 열전도율로 열관류율 구하기: 0.27 m / (0.04 W/mK) 줄은 6.75 m²·K/W를 주고, 1 / (6.75 m²·K/W) 줄은 이를 다시 0.1481481481 W/(m²·K)로 바꿔 줘요.
자주 쓰는 공식은 함수로 저장하세요: 운동에너지(질량, 속도) = 0.5 * 질량 * 속도^2 줄을 쓴 다음 운동에너지(1200 kg, 30 m/s) in kJ 줄로 계산해요. 나만의 함수를 참고하세요.