Studier och vetenskap

Kontrollera läxor och laborationer med enheter som följer med i varje steg, beräkna statistik på resultaten och lös ekvationer som är besvärliga att ordna om för hand. Om resultatet får fel enhet vet du att formeln behöver kontrolleras igen.

Fysik med enheter

Ge varje storhet en enhet och låt Varlig hålla reda på resten. Kilometer per timme, meter per sekund i kvadrat och kilogram kombineras till rätt enhet i varje resultat.

calc

# A car braking hard from 108 km/h

speed = 108 km/h in m/s ger 30 m/s

deceleration = 6 m/s²

braking distance = speed^2 / (2 * deceleration) ger 75 m

stopping time = speed / deceleration ger 5 s

mass = 1200 kg

kinetic energy = 0.5 * mass * speed^2 in kJ ger 540 kJ

braking force = mass * deceleration ger 7,200 N

braking force * braking distance in kJ ger 540 kJ

Om du först omvandlar hastigheten till meter per sekund får alla efterföljande resultat SI-enheter. Kraft gånger sträcka ger arbete, så de två sista raderna bekräftar att bromsarna avlägsnar all rörelseenergi. Om du multiplicerar där formeln ska dividera får resultatet en tilltrasslad enhet som (m/s)²·m/s² i stället för meter. Det visar snabbt att beräkningen behöver kontrolleras. Se Aritmetik med enheter och Potenser och rötter.

Konstanter och läroboksenheter

I tabellverk skrivs enheter med punkter, snedstreck, parenteser och upphöjda tecken. Skriv dem som de står, så får formeln rätt enhet.

calc

# Heating half a litre of water by 20 degrees

4186 J/kg/°C * 0.5 kg * 20 °C ger 41,860 J

# The gravitational constant, as the data book prints it

G = 6.674e-11 N·m²/kg² ger 6.674e-11 N·m²/kg²

G * 5.972e24 kg * 80 kg / (6371 km)^2 ger 785.5625626253 N

1 N in kg*m/s^2 ger 1 kg·m/s²

1 kg·m²/s² in J ger 1 J

# The speed of sound at sea level

Mach 1 in km/h ger 1,225.044 km/h

*, · och ⋅ betyder alla multiplikation. ^2 och ² betyder båda upphöjt till två, och parenteser kring nämnaren grupperar allt inuti dem. Basenheter som tillsammans motsvarar en namngiven enhet får det namnet. Därför anges tyngdkraften på en person med massan 80 kg i newton. Begär kg*m/s^2 i stället så får du exakt den formen. En värmekapacitet skriven J/kgK, med kelvin direkt efter, tolkas också som J/(kg·K). Se Enheter från läroböcker och datablad.

Koncentrationer och lösningar

I kemi och biologi kan samma mängd anges i procent, som molaritet eller som miljondelar. Varlig omvandlar mellan dem och tolkar en andel av vatten som en koncentration.

calc

# 0.00243 mol made up to 25.0 cm³

0.00243 mol / 25.0 cm³ ger 0.0972 mol/L

# Saline at 0.9%

0.9% in g/L ger 9 g/L

# Chlorine at 2 ppm

2 ppm in % ger 0.0002%

1 ppm in mg/L ger 1 mg/L

# Dosing a 200 L tank to 20 ppm

20 ppm * 200 L in g ger 4 g

# Sea water, about 35 parts per thousand

35 ppt of 150 kg ger 5.25 kg

En liten mängd uppmätt i kubikcentimeter kan uttryckas per liter, som vid molaritet. För miljondelar av vatten används vattnets densitet, så en dos i ppm multiplicerad med en volym ger gram. ppt betyder tusendelar, som när salthalt anges. Se Tusendelar, miljondelar och miljarddelar.

Statistik över laboratorieresultat

Sätt upp upprepade mätningar i en lista för att få medelvärdet, spridningen och hur långt du är från det accepterade värdet.

calc

# Pendulum measurements of g

readings = [9.74 m/s², 9.86 m/s², 9.79 m/s², 9.83 m/s², 9.88 m/s²]

measured = average(readings) ger 9.82 m/s²

spread = stddev(readings)

spread to 2 sf ger 0.056 m/s²

Standard error: spread / sqrt(count(readings)) to 2 sf ger 0.025 m/s²

accepted = 9.81 m/s²

Difference: (measured - accepted) / accepted as % to 2 dp ger 0.1%

average och stddev behåller mätvärdenas enheter. stddev ger stickprovets standardavvikelse, det vanliga valet för upprepade mätningar. En etikett före kolon beskriver varje rad. to 2 sf avrundar en rad till signifikanta siffror, oavsett om den innehåller ett namn, en formel eller ett funktionsresultat. Använd den förkortning som är vanlig i ditt ämne: sf, SF, s.f., sig fig och sig. figs fungerar alla. En nolla som ingår i det begärda antalet siffror behålls, så 31.0357 m to 3 sf blir 31,0 m och inte 31 m. Resultatet visar därmed den precision du faktiskt har. to 2 dp avrundar i stället till antal decimaler och tar bort avslutande nollor. Se Sammanfattande statistik, Spridning och Signifikanta siffror.

Lösa ekvationer

Ge solve en ekvation, den obekanta variabeln och ett sökintervall. Använd solve_system för linjära ekvationssystem.

calc

# Roots of x^2 + 3x - 10 = 0

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, 0, 5) ger 2

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, -10, 0) ger -5

# A stone dropped from 45 m: when does it land?

solve(4.9t^2 = 45, t, 0, 10) to 2 dp ger 3.03

# 2x + 3y = 13 and x - y = -1

solve_system([[2, 3], [1, -1]], [13, -1]) ger [2, 3]

solve hittar en rot mellan de två gränserna, så välj gränserna på båda sidor om roten du vill ha. Skriv ekvationen som den ser ut på papper: 4.9t^2 kvadrerar t innan multiplikation. solve_system tar emot koefficienterna rad för rad och ger x och y i ordning. Se Hitta en numerisk rot och Lös ett linjärt system.

Snabba mattekontroller

Kontrollera en formel mot en direkt beräkning, eller verifiera en derivata eller integral innan du lämnar in arbetet.

calc

# Sum of the first 20 squares, two ways

sum(k^2, k, 1, 20) ger 2,870

20 * 21 * 41 / 6 ger 2,870

# Slope of x^3 - 4x at x = 2

derivative(x^3 - 4*x, x, 2) ger 8

# Area under x^2 from 0 to 3

integrate(x^2, x, 0, 3) ger 9

# Ways to choose 3 people from 10

10 choose 3 ger 120

# Ways to line up 5 people

5! ger 120

sind(30) ger 0.5

När den direkta summan och formeln stämmer överens kan du använda formeln för större tal. derivative med en punkt ger lutningen där, och integrate ger arean mellan två gränser. Se Ändliga summor och produkter, Numerisk derivering och Bestämda integraler.

Gör det till ditt eget

Omvandla provpoäng av maximalt 40 till procent på en rad: [34, 29, 38] / 40 * 100.
Håll takten i repetitionen: 40 hours at 4 hours a week ger 10 veckor, och 2 hours in 15 min delar en session i 8 block.
Läs av andelen direkt från siffrorna: 5 kg of 20 kg är 25 % och 20 min of 1 hour är 33,3333333333 %.
Arbeta i grader utan att byta något: cos(30 deg) ger 0,8660254038, och 1/4 turn in degrees ger 90°.
Derivera en formel med konstanter, som differentiate(a*x^2 + b*x, x), utan att först ge a och b något värde. Se Symbolisk derivering.
Kontrollera en krets: 12 V * 2 A ger 24 W, och 5000 mAh / 500 mA visar att batteriet håller i 10 timmar.
Räkna ut hastigheten när en sten som släpps från 45 m når marken: sqrt(2 * 9.81 m/s² * 45 m) to 3 sf ger 29,7 m/s.
Omvandla en period till en frekvens: 1 / 0.02 s in Hz ger 50 Hz, och 60 rpm in Hz ger 1 Hz, eftersom båda räknar samma varv.
Beräkna ett U-värde från en tjocklek och en ledningsförmåga: 0.27 m / (0.04 W/mK) ger 6,75 m²·K/W, och 1 / (6.75 m²·K/W) vänder det tillbaka till 0,1481481481 W/(m²·K).
Spara en formel du ofta använder som en funktion: ke(mass, speed) = 0.5 * mass * speed^2, sedan ke(1200 kg, 30 m/s) in kJ. Se dina egna funktioner.