الدراسة والعلوم

راجع واجباتك وتجارب المختبر بوحدات ترافق كل خطوة، واحسب إحصاءات النتائج، وحل المعادلات التي يصعب إعادة ترتيبها يدويا. وإذا ظهرت النتيجة بوحدة غير متوقعة، فهذه إشارة لمراجعة الصيغة.

الحسابات الفيزيائية بالوحدات

اكتب الوحدة مع كل كمية ودع Varlig يتتبعها. تتكامل الكيلومترات في الساعة والأمتار في الثانية المربعة والكيلوغرامات لتعطي الوحدة الصحيحة لكل نتيجة.

calcنسخ

# A car braking hard from 108 km/h

speed = 108 km/h in m/s الناتج 30 m/s

deceleration = 6 m/s²

braking distance = speed^2 / (2 * deceleration) الناتج 75 m

stopping time = speed / deceleration الناتج 5 s

mass = 1200 kg

kinetic energy = 0.5 * mass * speed^2 in kJ الناتج 540 kJ

braking force = mass * deceleration الناتج 7,200 N

braking force * braking distance in kJ الناتج 540 kJ

تحويل السرعة إلى أمتار في الثانية أولا يبقي جميع النتائج التالية بوحدات النظام الدولي. وضرب القوة في المسافة يعطي شغلا، فيؤكد السطران الأخيران أن المكابح تزيل الطاقة الحركية كاملة. وإذا استخدمت الضرب حيث تتطلب الصيغة القسمة، تظهر وحدة مركّبة مثل (m/s)²·m/s² بدلا من الأمتار، وهي إشارة سريعة لمراجعة الحساب. راجع الحساب بالوحدات والقوى والجذور.

الثوابت ووحدات الكتب المدرسية

تكتب المراجع العلمية الوحدات بنقاط وشرطات مائلة وأقواس ومحارف علوية. اكتبها كما تظهر في المرجع لتنتج الصيغة الوحدة المتوقعة.

calcنسخ

# Heating half a litre of water by 20 degrees

4186 J/kg/°C * 0.5 kg * 20 °C الناتج 41,860 J

# The gravitational constant, as the data book prints it

G = 6.674e-11 N·m²/kg² الناتج 6.674e-11 N·m²/kg²

G * 5.972e24 kg * 80 kg / (6371 km)^2 الناتج 785.5625626253 N

1 N in kg*m/s^2 الناتج 1 kg·m/s²

1 kg·m²/s² in J الناتج 1 J

# The speed of sound at sea level

Mach 1 in km/h الناتج 1,225.044 km/h

تعني الرموز * و· و⋅ الضرب، ويعني كل من ^2 و² التربيع، وتجمع الأقواس حول المقام كل ما بداخلها. وتُعرض الوحدات الأساسية التي تشكّل وحدة ذات اسم خاص بذلك الاسم؛ لذلك يظهر وزن شخص كتلته 80 كغ بالنيوتن. وإذا طلبت kg*m/s^2، تحصل على تلك الصيغة تماما. وتُقرأ السعة الحرارية المكتوبة J/kgK، مع إلصاق الكلفن بالوحدة السابقة، كما تُقرأ J/(kg·K). راجع الوحدات من الكتب الدراسية وأوراق المواصفات.

التراكيز والمحاليل

تعبّر الكيمياء والأحياء عن الكمية نفسها كنسبة مئوية أو تركيز مولاري أو أجزاء في المليون. يحوّل Varlig بين هذه الصيغ، ويفسّر النسبة إلى الماء على أنها تركيز.

calcنسخ

# 0.00243 mol made up to 25.0 cm³

0.00243 mol / 25.0 cm³ الناتج 0.0972 mol/L

# Saline at 0.9%

0.9% in g/L الناتج 9 g/L

# Chlorine at 2 ppm

2 ppm in % الناتج 0.0002%

1 ppm in mg/L الناتج 1 mg/L

# Dosing a 200 L tank to 20 ppm

20 ppm * 200 L in g الناتج 4 g

# Sea water, about 35 parts per thousand

35 ppt of 150 kg الناتج 5.25 kg

تُعرض الكمية الصغيرة المقسومة على حجم بالسنتيمتر المكعب بوحدة لكل لتر، وهي وحدة الحجم المستخدمة للتركيز المولاري. وتُحسب أجزاء الماء في المليون بحسب كثافة الماء، لذلك يعطي ضرب جرعة بوحدة ppm في حجم نتيجة بالغرام. وتعني ppt أجزاء في الألف، كما تُكتب الملوحة. راجع الأجزاء في الألف والمليون والمليار.

تحليل نتائج المختبر إحصائيا

ضع القياسات المتكررة في قائمة لحساب المتوسط والتشتت ومقدار اختلاف نتائجك عن القيمة المعتمدة.

calcنسخ

# Pendulum measurements of g

readings = [9.74 m/s², 9.86 m/s², 9.79 m/s², 9.83 m/s², 9.88 m/s²]

measured = average(readings) الناتج 9.82 m/s²

spread = stddev(readings)

spread to 2 sf الناتج 0.056 m/s²

Standard error: spread / sqrt(count(readings)) to 2 sf الناتج 0.025 m/s²

accepted = 9.81 m/s²

Difference: (measured - accepted) / accepted as % to 2 dp الناتج 0.1%

تحتفظ average وstddev بوحدات قياساتك. وتعطي stddev الانحراف المعياري للعينة، وهو الخيار المعتاد للقياسات المتكررة. وتوضح التسمية قبل النقطتين الرأسيتين معنى كل سطر، بينما يقرّب to 2 sf أي سطر إلى أرقام معنوية، سواء كان اسما أو صيغة أو نتيجة دالة. استخدم الاختصار المعتاد في تخصصك؛ فالصيغ sf وSF وs.f. وsig fig وsig. figs كلها صالحة. ويُحفظ الصفر إذا كان من الأرقام المعنوية المطلوبة؛ فتكون نتيجة 31.0357 m to 3 sf هي 31.0 م، لا 31 م، لتوضح دقة القيمة. أما to 2 dp فيقرّب إلى منازل عشرية ويحذف الأصفار النهائية. راجع الإحصاءات الموجزة والتشتت والأرقام المعنوية.

حل المعادلات

أعطِ solve معادلة ومتغيرا مجهولا ونطاقا للبحث. ولحل نظام معادلات خطية، استخدم solve_system.

calcنسخ

# Roots of x^2 + 3x - 10 = 0

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, 0, 5) الناتج 2

solve(x^2 + 3x - 10 = 0, x, -10, 0) الناتج -5

# A stone dropped from 45 m: when does it land?

solve(4.9t^2 = 45, t, 0, 10) to 2 dp الناتج 3.03

# 2x + 3y = 13 and x - y = -1

solve_system([[2, 3], [1, -1]], [13, -1]) الناتج [2, 3]

تجد solve جذرا واحدا بين الحدّين، فاختر حدّين على جانبَي الجذر المطلوب. اكتب المعادلة كما على الورق: يربّع 4.9t^2 المتغير t قبل الضرب. وتأخذ solve_system المعاملات صفا بصف، وتعطي x ثم y بالترتيب. راجع إيجاد جذر عددي واحد وحل نظام خطي.

مراجعة سريعة للحسابات

تحقق من صيغة بمقارنتها بحساب مباشر، أو راجع مشتقة أو تكاملا قبل تسليم عملك.

calcنسخ

# Sum of the first 20 squares, two ways

sum(k^2, k, 1, 20) الناتج 2,870

20 * 21 * 41 / 6 الناتج 2,870

# Slope of x^3 - 4x at x = 2

derivative(x^3 - 4*x, x, 2) الناتج 8

# Area under x^2 from 0 to 3

integrate(x^2, x, 0, 3) الناتج 9

# Ways to choose 3 people from 10

10 choose 3 الناتج 120

# Ways to line up 5 people

5! الناتج 120

sind(30) الناتج 0.5

عندما يتطابق الجمع المباشر مع الصيغة، يمكنك استخدامها بثقة مع أعداد أكبر. وتعطي derivative عند تحديد نقطة الميل عندها، بينما تعطي integrate المساحة بين حدّين. راجع المجاميع والجداءات المنتهية والاشتقاق العددي والتكامل المحدد.

عدّل المثال ليناسبك

• حول علامات الاختبار من 40 إلى نسب مئوية في سطر واحد: [34, 29, 38] / 40 * 100.
• حدد وتيرة المراجعة: 40 hours at 4 hours a week تعطي 10 أسابيع، و2 hours in 15 min تقسم الجلسة إلى 8 كتل.
• استخرج النسبة من الكميات مباشرة: يعطي 5 kg of 20 kg نسبة 25%، ويعطي 20 min of 1 hour نسبة 33.3333333333%.
• اعمل بالدرجات دون تغيير أي شيء: cos(30 deg) يعطي 0.8660254038، و 1/4 turn in degrees يعطي 90°.
• اشتق صيغة تحتوي ثوابت، مثل differentiate(a*x^2 + b*x, x)، دون تحديد قيمة لـa وb مسبقا. راجع الاشتقاق الرمزي.
• تحقق من الدائرة: 12 V * 2 A تعطي 24 واط، و 5000 mAh / 500 mA تظهر أن البطارية تدوم لمدة 10 ساعات.
• احسب سرعة وصول حجر سقط من ارتفاع 45 م إلى الأرض: يعطي sqrt(2 * 9.81 m/s² * 45 m) to 3 sf نتيجة 29.7 م/ث.
• حوّل الفترة إلى تردد: 1 / 0.02 s in Hz يعطي 50 هرتز، و 60 rpm in Hz يعطي 1 هرتز، لأن كلاهما يحسب نفس عدد الدورات.
• احسب معامل الانتقال الحراري U من السماكة والموصلية الحرارية: يعطي 0.27 m / (0.04 W/mK) مقاومة 6.75 m²·K/W، ويحوّلها 1 / (6.75 m²·K/W) إلى 0.1481481481 W/(m²·K).
• احفظ صيغة تستخدمها كثيرا كدالة: ke(mass, speed) = 0.5 * mass * speed^2، ثم استخدم ke(1200 kg, 30 m/s) in kJ. راجع دوالك الخاصة.