الأعداد المركبة

للعدد المركّب جزء حقيقي وجزء تخيلي يُكتب باستخدام i، أي الجذر التربيعي لـ−1. تشرح هذه الصفحة كتابة الأعداد المركّبة، وإجراء العمليات الحسابية عليها، واستخراج قيمتها المطلقة وسعتها، وحساب الجذور التربيعية للأعداد السالبة، والدوال الرياضية التي تقبل قيمًا مركّبة.

استخدمها عندما لا يكون لمعادلة تربيعية جذور حقيقية، أو عند العمل على دوائر التيار المتردد أو الإشارات، أو للتحقق من تمارين التحليل المركّب في دراستك.

كتابة الأعداد المركّبة

calcنسخ

2 + 3i الناتج 2 + 3i

complex(3, -4) الناتج 3 - 4i

i^2 الناتج -1

ضع i مباشرة بعد عدد لكتابة الجزء التخيلي، مثل 3i أو 1.5i، أو استخدم i وحدها. تنشئ complex(real, imaginary) القيمة نفسها من جزأين، وهو مفيد عندما يكون الجزآن اسمَي متغيرين: complex(resistance, reactance). يجب أن يكون كلا الجزأين عددًا مجرّدًا من الوحدات.

تعني i الوحدة التخيلية فقط ما لم يكن هناك شيء آخر اسمه i في الملاحظة. بمجرد تعريف متغير أو وحدة مخصصة باسم i، تكون الأولوية لهذا التعريف:

calcنسخ

i = 5

2 + 3i الناتج 17

complex(2, 3) الناتج 2 + 3i

هنا أصبحت 3i تعني 3 × 5، وأعطى السطر 17. تظل الأسماء متاحة عبر الكتل الحسابية في الملاحظة، لذلك يؤدي i = … في أي موضع سابق من الملاحظة إلى الأثر نفسه. تجنّب استخدام i اسمًا لمتغير في الملاحظات التي تستخدم أعدادًا مركّبة. لا تعتمد complex(2, 3) على ذلك الاسم، لذا تظل تعمل.

العمليات الحسابية

calcنسخ

(2 + 3i) + (1 - 5i) الناتج 3 - 2i

(1 + 2i) * (3 - i) الناتج 5 + 5i

(2 + 3i) * (2 - 3i) الناتج 13

10 / (3 + 4i) الناتج 1.2 - 1.6i

(1 + i)^8 الناتج 16

الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى أسس صحيحة عمليات دقيقة. عندما يساوي الجزء التخيلي للنتيجة صفرًا، كما في (2 + 3i) * (2 - 3i)، تظهر النتيجة كعدد عادي. أحط كل عدد مركّب بأقواس عند الضرب أو القسمة، حتى لا تُقرأ (2 + 3i) * (2 - 3i) على أنها 2 + (3i * 2) - 3i.

جزآ العدد المركّب

calcنسخ

z = 3 + 4i

real(z) الناتج 3

imag(z) الناتج 4

conj(z) الناتج 3 - 4i

abs(z) الناتج 5

arg(1 + i) الناتج 0.7853981634

arg(1 + i) rad in degrees الناتج 45°

تعيد arg عددًا مجرّدًا يمثّل الزاوية بالراديان بين −π وπ. لعرضه بالدرجات، أضف إليه وحدة الراديان ثم حوّله، كما في السطر الأخير. للتحويل في الاتجاه المعاكس، من القيمة المطلقة والزاوية إلى عدد مركّب، استخدم exp: نتيجة 2 * exp(i * pi / 3) هي 1 + 1.7320508076i.

الجذور التربيعية للأعداد السالبة

يُعامَل حساب الجذر التربيعي لعدد سالب عادي كحساب ضمن الأعداد الحقيقية، لذا تعرض sqrt(-16) رسالة خطأ توضّح الصيغة البديلة: Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-16 + 0i). لطلب الجذر المركّب، اكتب العدد بصيغة مركّبة: أضف 0i، أو استخدم complex(…, 0):

calcنسخ

sqrt(-16 + 0i) الناتج 4i

sqrt(complex(-16, 0)) الناتج 4i

sqrt(3 + 4i) الناتج 2 + i

sqrt(2i) الناتج 1 + i

تُرجِع sqrt الجذر الرئيسي، وهو الجذر ذو الجزء الحقيقي الموجب، أو ذو الجزء التخيّلي الموجب في حالة الأعداد السالبة. أما الجذر التربيعي الآخر فهو سالب هذا الجذر.

تبقى القيمة المكتوبة كعدد مركّب من النوع المركّب، حتى إذا كان جزؤها التخيلي صفرًا. يمكنك إسنادها إلى اسم أو متابعة الحساب بها: بعد x = -16 + 0i، تعطي sqrt(x) القيمة 4i، مع أن x تُعرض على هيئة -16.

بهذا يمكن استخدام قانون حل المعادلة التربيعية لأي معادلة من الدرجة الثانية:

calcنسخ

# Roots of x^2 + 2x + 5 = 0

a = 1

b = 2

c = 5

disc = b^2 - 4*a*c الناتج -16

(-b + sqrt(disc + 0i)) / (2*a) الناتج -1 + 2i

(-b - sqrt(disc + 0i)) / (2*a) الناتج -1 - 2i

تتّبع الجذور التكعيبية قاعدة الجذر الرئيسي نفسها، وقد تأتي نتائج الأعداد السالبة على غير المتوقّع:

calcنسخ

cbrt(-8) الناتج -2

cbrt(-8 + 0i) الناتج 1 + 1.7320508076i

كلاهما جذر تكعيبي للعدد −8. تُرجِع الصيغة الحقيقية الجذر الحقيقي، وتُرجِع الصيغة المركّبة الجذر المركّب الرئيسي.

دوال الأعداد المركّبة

calcنسخ

exp(i * pi) الناتج -1

ln(-1 + 0i) الناتج 3.1415926536i

i^i الناتج 0.2078795764

cos(i) الناتج 1.5430806348

sinh(i) الناتج 0.8414709848i

2^i الناتج 0.7692389014 + 0.6389612763i

تقبل هذه الدوال قيمًا مركّبة:

• sin وcos وtan ودوالها العكسية asin وacos وatan
• sinh وcosh وtanh ودوالها العكسية asinh وacosh وatanh
• exp وln وlog (أو log10) وlog2 وsqrt وcbrt
• القوى ذات الأسس الكسرية أو المركّبة، مثل i^0.5 أو 2^i

تستخدم هذه الدوال حسابات الفاصلة العائمة الثنائية، لذلك تكون النتائج تقريبات دقيقة. وتُعرَض بقايا التقريب الضئيلة جدًا على أنها 0، فيظهر exp(i * pi) مساويًا لـ −1 كما تتوقّع من الصيغة النظرية. وتحتفظ القيمة المخزّنة بجميع أرقامها؛ لذلك عند مقارنة مثل هذه النتائج، تحقّق من أن الفرق ضئيل جدًا، مثل abs(exp(i * pi) + 1) < 1e-9، بدلًا من استخدام ==.

تعطي كل دالة نتيجة واحدة من فرعها الرئيسي. للعدد المركّب عدد لا نهائي من قيم اللوغاريتم وعدة جذور، وتحصل على القيمة الرئيسية المعتادة. كما في sqrt، تبقى المدخلات الحقيقية ضمن الحساب الحقيقي: تعرض ln(-1) وlog(-100) خطأ العدد التخيلي مع صيغة مركّبة لتجربتها، بينما تعطي ln(-1 + 0i) النتيجة πi. لوغاريتم الصفر يعطي خطأ.

الدوال التي لا تكون معرّفة إلا للأعداد الحقيقية، مثل floor وround، لا تقبل قيمًا مركّبة.

مقارنة الأعداد المركبة

calcنسخ

2 + 3i == complex(2, 3) الناتج true

2 + 3i != 2 - 3i الناتج true

complex(3, 0) >= 3 الناتج true

abs(3 + 4i) > abs(1 + 2i) الناتج true

تعمل == و!= مع أي قيم مركّبة. أما < و<= و> و>= فلا تعمل إلا إذا كان الجزء التخيلي يساوي صفرًا في الطرفين، لأن الأعداد المركّبة ليس لها ترتيب طبيعي: تعطي i < 2 خطأ. لمقارنة المقادير، قارن القيم المطلقة باستخدام abs، كما في السطر الأخير. لا يمكن فرز الأعداد المركّبة.

القواعد الكاملة موجودة في مرجع الرياضيات المتقدم.

مثال يجمع هذه العمليات

إليك طريقة للتحقّق من مسألة دائرة تيار متردّد: مقاومة قيمتها 30 Ω ومحث ذو مفاعلة قدرها 40 Ω موصولان على التوالي بمصدر جهد 10 V:

calcنسخ

# Series circuit: 30 Ω resistor, 40 Ω reactance, 10 V supply

resistance = 30

reactance = 40

z = complex(resistance, reactance) الناتج 30 + 40i

abs(z) الناتج 50

current = 10 / z الناتج 0.12 - 0.16i

abs(current) الناتج 0.2

arg(z) rad in degrees to 1 dp الناتج 53.1°

الممانعة هي 30 + 40i وقيمتها المطلقة 50 Ω؛ لذلك يكون التيار 0.2 A ويتأخر عن الجهد بنحو 53.1°. كثيرًا ما يكتب المهندسون j للوحدة التخيلية، لكنها دائمًا i في Varlig. تُكتب وحدات الأوم والفولت والأمبير في التعليق، لأن جزأي العدد المركّب لا يمكن أن يحملا وحدات.