Karmaşık sayılar

Karmaşık sayı, gerçek ve sanal kısımdan oluşur. Sanal kısım, −1'in karekökü olan i ile yazılır. Bu sayfa karmaşık sayıları yazmayı, bunlarla aritmetik yapmayı, modül ve argümanlarını bulmayı, negatif sayıların kareköklerini hesaplamayı ve karmaşık değer kabul eden matematik fonksiyonlarını açıklar.

İkinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığında, AC devreleri veya sinyallerle çalışırken veya karmaşık analiz derslerini kontrol ederken bu sayfayı kullanın.

Karmaşık sayı yazma

calc

2 + 3i sonucu 2 + 3i

complex(3, -4) sonucu 3 - 4i

i^2 sonucu -1

Sanal kısım için i işaretini 3i veya 1.5i örneklerindeki gibi sayının hemen arkasına yazın; i tek başına da kullanılabilir. complex(real, imaginary), aynı değeri iki bileşenden oluşturur. Bileşenler adlandırılmış değerlerse bu yöntem kullanışlıdır: complex(resistance, reactance). Her iki bileşen de birimsiz sayı olmalıdır.

i, yalnızca notta i adlı başka bir tanım yoksa sanal birim anlamına gelir. i adında bir değer veya özel birim tanımlarsanız öncelik o tanıma geçer:

calc

i = 5

2 + 3i sonucu 17

complex(2, 3) sonucu 2 + 3i

Burada 3i, 3 × 5 olarak yorumlandığı için satırın sonucu 17 olur. Adlar, notun hesaplama blokları arasında geçerlidir; bu nedenle notta daha önce yazılmış bir i = … tanımı aynı etkiyi yapar. Karmaşık sayılar kullandığınız notlarda i adını başka değerler için kullanmayın. complex(2, 3) bu ada başvurmadığından çalışmaya devam eder.

Aritmetik

calc

(2 + 3i) + (1 - 5i) sonucu 3 - 2i

(1 + 2i) * (3 - i) sonucu 5 + 5i

(2 + 3i) * (2 - 3i) sonucu 13

10 / (3 + 4i) sonucu 1.2 - 1.6i

(1 + i)^8 sonucu 16

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve tam sayı üs alma işlemleri tam olarak hesaplanır. (2 + 3i) * (2 - 3i) örneğindeki gibi sanal kısım sıfırsa sonuç normal sayı olarak görünür. Çarparken veya bölerken her karmaşık sayıyı paranteze alın; böylece (2 + 3i) * (2 - 3i) ifadesi 2 + (3i * 2) - 3i olarak yorumlanmaz.

Karmaşık sayının bileşenleri

calc

z = 3 + 4i

real(z) sonucu 3

imag(z) sonucu 4

conj(z) sonucu 3 - 4i

abs(z) sonucu 5

arg(1 + i) sonucu 0.7853981634

arg(1 + i) rad in degrees sonucu 45°

Fonksiyon	Döndürdüğü değer
`real(z)`	Gerçel kısım
`imag(z)`	Birimsiz sayı olarak sanal kısım
`conj(z)`	Karmaşık eşlenik: gerçel kısım aynı kalır, sanal kısmın işareti tersine döner
`abs(z)`	Modül: sıfıra olan uzaklık
`arg(z)`	Argüman: pozitif gerçel eksene göre açı, radyan cinsinden

arg, −π ile π arasında radyan cinsinden bir sayısal değer döndürür. Derece olarak görmek için son satırdaki gibi değeri radyan birimiyle belirtip dönüştürün. Modül ve açıdan karmaşık sayıya dönmek için exp kullanın: 2 * exp(i * pi / 3) sonucu 1 + 1.7320508076i olur.

Negatif sayıların karekökleri

Normal bir negatif sayının karekökü, gerçek sayılar kapsamında değerlendirilir. Bu nedenle sqrt(-16), ne yazmanız gerektiğini de belirten hata mesajını gösterir: Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-16 + 0i). Karmaşık kökü istemek için sayıyı karmaşık biçimde yazın: 0i ekleyin veya complex(…, 0) kullanın:

calc

sqrt(-16 + 0i) sonucu 4i

sqrt(complex(-16, 0)) sonucu 4i

sqrt(3 + 4i) sonucu 2 + i

sqrt(2i) sonucu 1 + i

sqrt, gerçek kısmı pozitif olan asal kökü döndürür; negatif gerçek sayılarda ise sanal kısmı pozitif olan kökü verir. Diğer karekök, bu kökün eksi işaretlisidir.

Karmaşık biçimde yazdığınız bir değer, sanal kısmı sıfır olsa bile karmaşık olarak saklanır. Önce bir ada atayabilir veya hesaplamalarda kullanabilirsiniz: x = -16 + 0i tanımından sonra x, -16 olarak görünse de sqrt(x) sonucu 4i olur.

Böylece ikinci dereceden denklem formülü, tüm ikinci dereceden denklemlerde çalışır:

calc

# Roots of x^2 + 2x + 5 = 0

a = 1

b = 2

c = 5

disc = b^2 - 4*a*c sonucu -16

(-b + sqrt(disc + 0i)) / (2*a) sonucu -1 + 2i

(-b - sqrt(disc + 0i)) / (2*a) sonucu -1 - 2i

Küp köklerde de aynı asal kök kuralı uygulanır. Bu, negatif sayılarda şaşırtıcı olabilir:

calc

cbrt(-8) sonucu -2

cbrt(-8 + 0i) sonucu 1 + 1.7320508076i

İkisi de −8'in küp köküdür. Gerçek sayı biçimi gerçek kökü, karmaşık biçim ise asal karmaşık kökü verir.

Karmaşık sayı fonksiyonları

calc

exp(i * pi) sonucu -1

ln(-1 + 0i) sonucu 3.1415926536i

i^i sonucu 0.2078795764

cos(i) sonucu 1.5430806348

sinh(i) sonucu 0.8414709848i

2^i sonucu 0.7692389014 + 0.6389612763i

Bu fonksiyonlar karmaşık değerleri kabul eder:

sin, cos, tan ve bunların tersleri asin, acos, atan
sinh, cosh, tanh ve bunların tersleri asinh, acosh, atanh
exp, ln, log (veya log10), log2, sqrt ve cbrt
i^0.5 veya 2^i gibi kesirli ya da karmaşık üs alma işlemleri

İkili kayan noktada çalışırlar, bu nedenle cevaplar yakın yaklaşımlardır. Yuvarlama artıkları önemli olamayacak kadar küçük 0 olarak gösterilir, bu nedenle exp(i * pi) ders kitabından beklediğiniz cevap olan −1 olarak okunur. Saklanan değer her rakamı tutar, bu nedenle bu tür sonuçları karşılaştırdığınızda, == kullanmak yerine abs(exp(i * pi) + 1) < 1e-9 gibi farkın küçük olduğunu kontrol edin.

Her fonksiyon, esas dalından tek bir sonuç verir. Karmaşık sayının sonsuz sayıda logaritma değeri ve birden çok kökü olabilir; size standart olan verilir. sqrt örneğindeki gibi gerçek girdiler gerçek sayılar kapsamında kalır. ln(-1) ve log(-100), deneyebileceğiniz karmaşık biçimi de belirten sanal sayı hatasını gösterir; ln(-1 + 0i) ise πi verir. Sıfırın logaritması hata oluşturur.

floor ve round gibi yalnızca gerçek sayılar için anlamlı olan fonksiyonlar karmaşık değerleri kabul etmez.

Karmaşık sayıları karşılaştırma

calc

2 + 3i == complex(2, 3) sonucu true

2 + 3i != 2 - 3i sonucu true

complex(3, 0) >= 3 sonucu true

abs(3 + 4i) > abs(1 + 2i) sonucu true

== ve != herhangi bir karmaşık değer üzerinde çalışır. <, <=, > ve >= yalnızca her iki tarafın da sıfır sanal kısmına sahip olduğu durumlarda çalışır, çünkü karmaşık sayıların doğal bir sırası yoktur: i < 2 bir hatadır. Boyutları karşılaştırmak için, son satırdaki gibi modülleri abs ile karşılaştırın. Karmaşık sayılar sıralanamaz.

Kuralların tamamı ileri matematik referansı'dedir.

Hepsini bir araya getirme

İşte bir AC devresi problemi üzerinde bir kontrol: 30 Ω direnç ve 10 V beslemede seri olarak 40 Ω reaktansa sahip bir indüktör:

calc

# Series circuit: 30 Ω resistor, 40 Ω reactance, 10 V supply

resistance = 30

reactance = 40

z = complex(resistance, reactance) sonucu 30 + 40i

abs(z) sonucu 50

current = 10 / z sonucu 0.12 - 0.16i

abs(current) sonucu 0.2

arg(z) rad in degrees to 1 dp sonucu 53.1°

Empedans 30 + 40i, büyüklüğü ise 50 Ω'dur. Bu nedenle akım 0,2 A olur ve gerilimin yaklaşık 53,1° gerisindedir. Mühendisler sanal birim için sıkça j kullanır; Varlig'de her zaman i kullanılır. Karmaşık sayının bileşenleri birim taşıyamadığından ohm, volt ve amper bilgileri yorumda yer alır.