Bilangan kompleks

Bilangan kompleks memiliki bagian real dan bagian imajiner, yang ditulis dengan i, akar kuadrat dari −1. Halaman ini membahas penulisan bilangan kompleks, operasi aritmetika, modulus dan argumen, akar kuadrat bilangan negatif, serta fungsi matematika yang menerima nilai kompleks.

Gunakan saat persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, saat mengerjakan rangkaian arus bolak-balik (AC) atau sinyal, atau saat memeriksa tugas analisis kompleks.

Menulis bilangan kompleks

calc

2 + 3i menghasilkan 2 + 3i

complex(3, -4) menghasilkan 3 - 4i

i^2 menghasilkan -1

Letakkan i tepat setelah nilai numerik untuk bagian imajiner, seperti pada 3i atau 1.5i, atau gunakan i sendiri. complex(real, imaginary) membangun nilai yang sama dari dua bagian, yang berguna ketika bagian-bagiannya adalah nama: complex(resistance, reactance) Kedua bagian harus berupa nomor biasa tanpa satuan.

i berarti unit imajiner hanya sementara tidak ada yang lain dalam catatan yang disebut i. Setelah Anda menentukan nama atau unit khusus yang disebut i, itu mengambil alih:

calc

i = 5

2 + 3i menghasilkan 17

complex(2, 3) menghasilkan 2 + 3i

Di sini 3i menjadi 3 × 5, sehingga baris menghasilkan 17. Nama variabel berlaku lintas blok perhitungan dalam satu catatan, jadi definisi i = … di bagian sebelumnya memiliki efek yang sama. Hindari nama i pada catatan yang menggunakan bilangan kompleks. complex(2, 3) tidak memakai nama tersebut, sehingga tetap berfungsi.

Aritmatika

calc

(2 + 3i) + (1 - 5i) menghasilkan 3 - 2i

(1 + 2i) * (3 - i) menghasilkan 5 + 5i

(2 + 3i) * (2 - 3i) menghasilkan 13

10 / (3 + 4i) menghasilkan 1.2 - 1.6i

(1 + i)^8 menghasilkan 16

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemangkatan bilangan bulat dihitung secara eksak. Jika bagian imajiner hasilnya nol, seperti pada (2 + 3i) * (2 - 3i), hasil ditampilkan sebagai angka biasa. Apit setiap bilangan kompleks dengan tanda kurung saat mengalikan atau membagi, agar (2 + 3i) * (2 - 3i) tidak ditafsirkan sebagai 2 + (3i * 2) - 3i.

Bagian-bagian bilangan kompleks

calc

z = 3 + 4i

real(z) menghasilkan 3

imag(z) menghasilkan 4

conj(z) menghasilkan 3 - 4i

abs(z) menghasilkan 5

arg(1 + i) menghasilkan 0.7853981634

arg(1 + i) rad in degrees menghasilkan 45°

Fungsi	Memberi
`real(z)`	Bagian real
`imag(z)`	Bagian imajiner, sebagai angka biasa
`conj(z)`	Konjugat kompleks: bagian real tetap sama, tanda bagian imajiner dibalik
`abs(z)`	Modulus: jarak dari nol
`arg(z)`	Argumennya: sudut dari sumbu real positif, dalam radian

arg mengembalikan jumlah radian biasa antara −π dan π. Untuk melihatnya dalam derajat, tandai sebagai radian dan konversikan, seperti pada baris terakhir. Untuk pergi ke arah lain, dari modulus dan sudut kembali ke nilai numerik kompleks, gunakan exp: 2 * exp(i * pi / 3) adalah 1 + 1.7320508076i.

Akar kuadrat dari angka negatif

Akar kuadrat dari nilai numerik negatif biasa adalah perhitungan bilangan real, jadi sqrt(-16) menunjukkan kesalahan yang memberi tahu Anda apa yang harus ditulis sebagai gantinya: Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-16 + 0i) Untuk meminta akar kompleks, tulis nilai numerik sebagai kompleks: tambahkan 0i, atau gunakan complex(…, 0)

calc

sqrt(-16 + 0i) menghasilkan 4i

sqrt(complex(-16, 0)) menghasilkan 4i

sqrt(3 + 4i) menghasilkan 2 + i

sqrt(2i) menghasilkan 1 + i

sqrt menghasilkan akar utama, yaitu akar dengan bagian real positif, atau bagian imajiner positif untuk bilangan negatif. Akar kuadrat lainnya adalah nilai negatif dari akar tersebut.

Nilai yang Anda tulis sebagai kompleks tetap kompleks, bahkan ketika bagian imajinernya nol. Anda dapat menyimpannya dalam sebuah nama atau melanjutkan perhitungan dengannya terlebih dahulu: setelah x = -16 + 0i, sqrt(x) adalah 4i, meskipun x ditampilkan sebagai -16.

Dengan cara ini, rumus akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk semua persamaan kuadrat:

calc

# Roots of x^2 + 2x + 5 = 0

a = 1

b = 2

c = 5

disc = b^2 - 4*a*c menghasilkan -16

(-b + sqrt(disc + 0i)) / (2*a) menghasilkan -1 + 2i

(-b - sqrt(disc + 0i)) / (2*a) menghasilkan -1 - 2i

Akar pangkat tiga mengikuti aturan akar utama yang sama, sehingga hasil untuk bilangan negatif mungkin berbeda dari yang Anda duga:

calc

cbrt(-8) menghasilkan -2

cbrt(-8 + 0i) menghasilkan 1 + 1.7320508076i

Keduanya merupakan akar pangkat tiga dari −8. Bentuk real menghasilkan akar real, sedangkan bentuk kompleks menghasilkan akar kompleks utama.

Fungsi untuk bilangan kompleks

calc

exp(i * pi) menghasilkan -1

ln(-1 + 0i) menghasilkan 3.1415926536i

i^i menghasilkan 0.2078795764

cos(i) menghasilkan 1.5430806348

sinh(i) menghasilkan 0.8414709848i

2^i menghasilkan 0.7692389014 + 0.6389612763i

Fungsi-fungsi ini menerima nilai-nilai kompleks:

sin, cos, tan, serta fungsi inversnya asin, acos, atan
sinh, cosh, tanh, serta fungsi inversnya asinh, acosh, atanh
exp, ln, log (atau log10), log2, sqrt dan cbrt
pemangkatan dengan eksponen pecahan atau kompleks, misalnya i^0.5 atau 2^i

Mereka bekerja dalam titik mengambang biner, jadi jawabannya adalah perkiraan yang dekat. Sisa-sisa yang terlalu kecil untuk menjadi penting ditampilkan sebagai 0, jadi exp(i * pi) dibaca sebagai −1, jawaban yang Anda harapkan dari buku teks. Nilai yang disimpan menyimpan setiap digit, jadi ketika Anda membandingkan hasil tersebut, periksa apakah perbedaannya kecil, seperti dalam abs(exp(i * pi) + 1) < 1e-9, daripada menggunakan ==.

Setiap fungsi menghasilkan satu nilai dari cabang utamanya. Bilangan kompleks memiliki tak terhingga banyak nilai logaritma dan beberapa akar; fungsi memberikan nilai utama yang lazim digunakan. Seperti pada sqrt, masukan real tetap dihitung sebagai real: ln(-1) dan log(-100) menampilkan kesalahan bilangan imajiner beserta bentuk kompleks yang dapat dicoba, sedangkan ln(-1 + 0i) menghasilkan πi. Logaritma nol menghasilkan kesalahan.

Fungsi yang hanya masuk akal untuk bilangan real, seperti floor dan round, tidak menerima nilai kompleks.

Membandingkan bilangan kompleks

calc

2 + 3i == complex(2, 3) menghasilkan true

2 + 3i != 2 - 3i menghasilkan true

complex(3, 0) >= 3 menghasilkan true

abs(3 + 4i) > abs(1 + 2i) menghasilkan true

== dan != dapat digunakan untuk semua nilai kompleks. <, <=, >, dan >= hanya dapat digunakan jika bagian imajiner kedua nilai adalah nol, karena bilangan kompleks tidak memiliki urutan alami: i < 2 menghasilkan kesalahan. Untuk membandingkan besarnya, bandingkan modulus dengan abs, seperti pada baris terakhir. Bilangan kompleks tidak dapat diurutkan.

Aturan lengkap tersedia dalam referensi matematika lanjutan.

Menggabungkan semuanya

Berikut adalah pemeriksaan pada masalah sirkuit AC: resistor 30 Ω dan induktor dengan 40 Ω reaktansi secara seri, pada pasokan 10 V:

calc

# Series circuit: 30 Ω resistor, 40 Ω reactance, 10 V supply

resistance = 30

reactance = 40

z = complex(resistance, reactance) menghasilkan 30 + 40i

abs(z) menghasilkan 50

current = 10 / z menghasilkan 0.12 - 0.16i

abs(current) menghasilkan 0.2

arg(z) rad in degrees to 1 dp menghasilkan 53.1°

Impedansinya adalah 30 + 40i, dengan besar 50 Ω. Karena itu, arusnya 0,2 A dan fasenya tertinggal sekitar 53,1° dari tegangan. Dalam teknik, satuan imajiner sering ditulis sebagai j; di Varlig, selalu gunakan i. Ohm, volt, dan ampere ditulis dalam komentar karena komponen bilangan kompleks tidak dapat memiliki satuan.