Matematika lanjutan: fitur dan batasan

Halaman ini merangkum matematika tingkat lanjut dalam Varlig Calc: daftar, vektor dan matriks, bilangan kompleks, penjumlahan dan hasil kali, penyelesaian persamaan, serta kalkulus. Untuk setiap fitur, dijelaskan fungsi, masukan yang diterima, tingkat ketepatan jawaban, dan batasannya. Gunakan sebagai rujukan ketika hasil berbeda dari perkiraan Anda.

Untuk pengenalan dengan lebih banyak contoh, lihat panduan: Daftar dan statistik, Vektor dan matriks, Angka kompleks dan Penjumlahan, penyelesaian persamaan dan kalkulus.

Sekilas

Daftar, matriks, dan bilangan kompleks adalah nilai biasa. Anda dapat memberi mereka nama, meneruskannya ke fungsi yang Anda tentukan, dan mereka menghitung ulang saat Anda mengedit baris sebelumnya.

calcSalin

squares(n) = sum(k^2, k, 1, n)

squares(3) menghasilkan 14

first(items) = items[0]

first([10, 20]) menghasilkan 10

root(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

root(9) menghasilkan 3

Apa yang dijamin oleh mesin

Di balik segala sesuatu di halaman ini adalah satu aturan: perhitungan memiliki jawaban yang dapat didukung oleh Varlig, atau menunjukkan kesalahan yang mengatakan mengapa. Itu tidak pernah jatuh kembali dari perhitungan yang tepat ke angka yang terlihat masuk akal.

Tingkat ketepatan jawaban

Eksak berarti benar-benar eksak: tidak ada pembulatan sejak baris dibaca hingga jawaban ditampilkan, sehingga hasil eksak tetap dipertahankan saat diberi nama, disimpan, dan digunakan kembali. Hasil pendekatan memakai desimal berpresisi terbatas seperti yang dikembalikan sqrt. Pembulatan hingga digit terakhir yang ditampilkan tidak dijamin benar, sehingga membandingkan dua hasil pendekatan dengan == bukan pengujian yang andal — solve(x^2 - 2 = 0) dan sqrt(2) sama-sama menampilkan 1.4142135624, tetapi nilainya tidak sama.

Satu jawaban tidak pernah mencampurkan keduanya. Jika diskriminan persamaan kuadrat bukan kuadrat sempurna, kedua akarnya berupa pendekatan.

Satuan

Mencampur nilai yang memiliki satuan dengan nilai yang tidak adalah kesalahan daripada pembacaan diam-diam dari angka kosong, dengan satu pengecualian lama: 0 kosong dihitung dalam satuan yang lain.

Apa yang ditolak

Tak satu pun dari ini memberikan nilai numerik atau kalimat. Masing-masing adalah kesalahan yang menyebutkan apa yang tidak dapat dilakukannya dan, di mana ada satu, bentuk yang didukung untuk ditulis sebagai gantinya:

• Persamaan polinomial berderajat lebih dari 2, persamaan nonpolinomial, variabel tak diketahui pada penyebut atau eksponen, dua nama yang sama-sama belum memiliki nilai, persamaan tanpa variabel tak diketahui, atau persamaan yang memakai satuan maupun uang. Pesan untuk setiap kasus menyarankan solve numerik dengan empat argumen.
• Persamaan tanpa akar real menghasilkan kesalahan, bukan akar kompleks. Persamaan yang dipenuhi oleh setiap nilai juga menghasilkan kesalahan, bukan memilih satu nilai.
• Operasi matriks dengan dimensi yang tidak sesuai atau tidak persegi, invers matriks singular, atau elemen yang bukan angka biasa.
• mode saat tidak ada nilai berulang atau beberapa nilai memiliki frekuensi tertinggi yang sama; persentil di luar 0–100; kuartil di luar 0–4; serta statistik apa pun selain sum, product, dan count pada daftar kosong.

Fitur berikut memang tidak didukung: manipulasi simbolik selain pengumpulan koefisien polinomial, sistem persamaan nonlinear simultan, akar kompleks dari persamaan real, matriks bersatuan atau berisi uang, integrasi simbolik, serta pembuatan grafik.

Pesan-pesannya tercantum dalam Kesalahan, diagnostik, dan batasan.

Menulis daftar dan fungsi matematika

• Koma memisahkan item dan argumen. Koma diikuti dengan spasi selalu memisahkan, dan koma diikuti dengan tepat tiga digit kelompok ribuan, jadi [1,200, 1,800] memiliki dua item. Tanpa spasi, setiap koma memisahkan, seperti pada [12,-51,4]. Di mana koma dapat dibaca dengan cara apa pun, seperti pada [1,234], kesalahan menunjukkan kedua cara untuk menulisnya. Gunakan titik desimal untuk pecahan dari nilai numerik.
• Matriks adalah daftar baris, seperti [[1,2],[3,4]]. Tidak ada singkatan titik koma seperti [1,2;3,4].
• Indeks dimulai dari 0 dan harus berupa bilangan bulat 0 atau lebih. Indeks melewati akhir daftar adalah kesalahan; itu tidak pernah membungkus atau dipotong agar pas.
• Jumlah argumen diperiksa. sqrt(4,9) adalah kesalahan daripada tebakan.

Daftar dan statistik

Fungsi berikut menerima daftar: length atau count, sum, product, average atau mean, median, min, max, mode dan modes, percentile dan quartile, serta fungsi sebaran variance, sample_variance, population_variance, stddev, sample_stddev, dan population_stddev.

• mode hanya menghasilkan jawaban jika tepat satu nilai memiliki frekuensi tertinggi. Jika frekuensi tertinggi sama atau tidak ada nilai berulang, muncul kesalahan yang menyarankan modes, median, atau average. modes mengembalikan semua nilai dengan frekuensi tertinggi.
• percentile(list, rank) mengambil peringkat dari 0 hingga 100 dan menginterpolasi secara linier antara dua peringkat terdekat, definisi inklusif: persentil ke-50 adalah median, dan 0 dan ke-100 adalah nilai terkecil dan terbesar. quartile(list, k) mengambil keseluruhan k dari 0 hingga 4 dan merupakan percentile(list, 25k)
• variance dan stddev adalah bentuk sampel, dibagi dengan n - 1 dan membutuhkan dua nilai. population_variance dan population_stddev dibagi dengan n dan membutuhkan satu. sample_variance dan sample_stddev adalah nama yang lebih panjang untuk yang pendek.
• Daftar kosong memiliki sum 0, product 1 dan count 0. Statistik lain dari daftar kosong adalah kesalahan.
• Dua daftar dengan panjang yang sama menambah dan mengurangi item demi item. Anda dapat mengalikan atau membagi daftar dengan nilai numerik, dan membandingkan dua daftar dengan ==.
• range(start, end, step) mencakup kedua ujungnya. Langkah ini opsional.
• dot(a, b) menghitung hasil kali titik dua vektor real.

calcSalin

spend = [420, 385, 510, 460] menghasilkan [420, 385, 510, 460]

sum(spend) menghasilkan 1,775

average(spend) menghasilkan 443.75

median(spend) menghasilkan 440

spend[0] menghasilkan 420

spend * 1.1 menghasilkan [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) menghasilkan [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

Transformasi daftar

• slice membutuhkan bilangan bulat di mana 0 ≤ awal ≤ akhir ≤ panjang daftar. Batas lainnya adalah kesalahan.
• variance membutuhkan setidaknya dua angka tanpa satuan.
• map dan filter mengambil ekspresi terlebih dahulu, lalu nama yang akan digunakan untuk setiap item, lalu daftar. Nama hanya berlaku di dalam panggilan, sehingga tidak mengubah nama yang telah Anda tentukan di tempat lain. Ekspresi dalam filter harus memberikan true atau false.

Vektor dan matriks

Vektor adalah daftar datar dan matriks adalah daftar baris. Matriks harus berbentuk persegi panjang, berisi bilangan real tanpa satuan, dan memiliki 1 hingga 32 baris dan kolom.

Hasil eksak. det, inverse, rank, dan solve_system memakai pecahan eksak. rank tidak memakai toleransi pembulatan. solve_system melaporkan kesalahan untuk sistem singular dan tidak menangani sistem nonlinear maupun sistem dengan tak terhingga banyak solusi.

Hasil pendekatan. eigenvalues, qr, lu, dan svd memakai floating point dan memastikan hasilnya berhingga. qr dan svd menerima matriks persegi panjang dan mengembalikan faktor ringkas ("tipis"). Perhitungan nilai eigen dan SVD berhenti setelah 10.000 iterasi. Dalam tampilan, elemen yang hanya berupa galat pembulatan dibandingkan dengan elemen terbesar ditampilkan sebagai 0, tetapi akses melalui indeks mengembalikan nilai tersimpannya. Matriks berkondisi buruk dapat kehilangan ketelitian, jadi jangan menguji hasil ini dengan ==.

calcSalin

# Two adult tickets and one child ticket cost 34; one adult and two children cost 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) menghasilkan [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) menghasilkan 3

rank([[1,2],[2,4]]) menghasilkan 1

Bilangan kompleks

i adalah unit imajiner, kecuali Anda telah mendefinisikan nama atau unit khusus yang disebut i.

• Fungsi: complex(real, imaginary) real, imag, conj, abs, arg (dalam radian) dan sqrt (akar utama) semuanya menerima bilangan kompleks.
• Ketepatan: bagian real dan imajiner, operasi hitung, serta pangkat bilangan bulat tetap eksak. Akar secara umum dan arg berupa pendekatan.
• Hasil real: jika bagian imajiner saling meniadakan, seperti pada (2+3i) * (2-3i), jawabannya menjadi bilangan real biasa. Nilai yang ditulis sebagai kompleks, seperti -4 + 0i atau complex(-4,0), tetap bertipe kompleks selama operasi hitung dan penyimpanan dalam nama, meskipun ditampilkan sebagai -4.
• Akar kuadrat dan logaritma bilangan negatif: sqrt(-4), ln(-1) dan log(-100) tetap dalam bilangan real dan menunjukkan kesalahan bilangan imajiner yang mengeja bentuk kompleks untuk ditulis sebagai gantinya, seperti sqrt(-4 + 0i). Itu, atau sqrt(complex(-4,0)), memberikan 2i.
• Tampilan: bagian yang hanya berupa galat pembulatan floating point ditampilkan sebagai 0, sehingga exp(i*pi) ditampilkan sebagai -1. Nilai tersimpan tetap mempertahankan semua digitnya.
• Perbandingan: < dan > bekerja hanya ketika kedua bagian imajiner adalah nol.
• Fungsi lain: sin, cos, tan beserta inversnya, fungsi hiperbolik beserta inversnya, exp, ln, log atau log10, log2, cbrt, serta pangkat pecahan atau kompleks menerima bilangan kompleks. Semuanya memakai floating point dan cabang utama. Logaritma nol atau hasil yang tidak berhingga menghasilkan kesalahan.

calcSalin

(2+3i) * (2-3i) menghasilkan 13

abs(3+4i) menghasilkan 5

sqrt(-4 + 0i) menghasilkan 2i

sqrt(complex(-4,0)) menghasilkan 2i

sqrt(-4) menghasilkan Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) menghasilkan -1

Penjumlahan dan perkalian

sum(expression, name, from, to) menjumlahkan hasil ekspresi untuk setiap bilangan bulat dari from hingga to, termasuk kedua batas. summation adalah nama lain untuk fungsi ini, sedangkan product melakukan perkalian.

• Nama itu lokal untuk panggilan. Itu tidak mengubah nama yang sudah Anda tentukan, dan itu tidak membuat baris bergantung pada satu.
• Penjumlahan atau hasil kali dapat disarangkan di dalam penjumlahan atau hasil kali lainnya.
• Jika to lebih kecil daripada from, rentangnya kosong: hasil penjumlahan adalah 0 dan hasil perkalian adalah 1.
• Satu pemanggilan dibatasi hingga 10.000 suku.

calcSalin

sum(k^2, k, 1, 10) menghasilkan 385

product(k, k, 1, 5) menghasilkan 120

k = 7 menghasilkan 7

sum(k, k, 1, 3) menghasilkan 6

k menghasilkan 7

Menyelesaikan persamaan

solve(equation) membaca persamaan polinomial berderajat 1 atau 2 dengan satu variabel tak diketahui, lalu mencari akarnya. Variabel tak diketahui adalah satu nama dalam persamaan yang belum memiliki nilai; nama yang sudah memiliki nilai diperlakukan sebagai nilai tersebut. Ruas kanan boleh dihilangkan, yang berarti ekspresi disamakan dengan nol.

• Persamaan linear menghasilkan satu angka. Persamaan kuadrat menghasilkan daftar akar real yang berbeda, diurutkan dari kecil ke besar, sehingga akar kembar menjadi daftar berisi satu elemen. Bentuk jawaban mengikuti derajat persamaan yang ditulis, bukan jumlah akar yang ditemukan.
• Koefisien dan penataan ulang mereka tepat, dan begitu juga akar ketika diskriminan adalah kuadrat sempurna. Kuadrat lainnya memberikan dua akar kuadrat desimal.
• Kedua sisi harus berupa angka biasa. Unit, uang, dan nilai kompleks ditolak.
• Persamaan tanpa akar real menghasilkan Error: no real solution, bukan akar kompleks. Persamaan yang dipenuhi oleh setiap nilai menampilkan keterangan tersebut alih-alih memilih suatu nilai.
• Hal lain - derajat 3 ke atas, persamaan non-polinomial, yang tidak diketahui dalam pembagi atau eksponen, nama kedua tanpa nilai - ditolak dengan pesan yang menyebutkan bentuk empat argumen di bawah ini.

calcSalin

solve(2x + 6 = 10) menghasilkan 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) menghasilkan [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) menghasilkan [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) menghasilkan Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) memiliki fungsi berbeda: mencari satu nilai real untuk name di antara lower dan upper yang membuat ekspresi bernilai nol. solve(left = right, name, lower, upper) mencari nilai yang membuat kedua ruas sama.

• Batas harus berupa bilangan berhingga, dengan lower lebih kecil daripada upper.
• Akar yang tepat pada batas diterima. Jika tidak, ekspresi harus bernilai positif pada satu batas dan negatif pada batas lainnya, serta kontinu di antara kedua batas.
• Pencarian mengurangi separuh interval setiap langkah. Itu berhasil ketika ekspresi berada dalam 1e-10 dari nol dan intervalnya cukup sempit, dalam 128 langkah. Jika ekspresi tidak terdefinisi di suatu tempat yang diperiksa, atau pencarian tidak menetap, baris menunjukkan kesalahan.
• Itu menemukan satu akar, bukan semuanya. Untuk sistem persamaan linear, gunakan solve_system.

calcSalin

solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) menghasilkan 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) menghasilkan 1.4142135624

Kalkulus

Turunan simbolis

differentiate(expression, name), yang juga dapat ditulis derivative(expression, name), mengembalikan turunan sebagai teks.

• Fungsi ini menggunakan aturan penjumlahan, perkalian, pembagian, pangkat, dan rantai pada operasi bilangan real tanpa satuan, serta mendukung sin, cos, tan, sinh, cosh, exp, ln, dan sqrt.
• Nama lain dalam ekspresi diperlakukan sebagai konstanta, apakah mereka memiliki nilai dalam catatan atau tidak: differentiate(a*x^2, x) memberikan (a*(2*(x^(2-1)))).
• Hasilnya tidak disederhanakan, dan dibatasi hingga 8.192 karakter.
• Fungsi lain, seperti abs, adalah kesalahan; gunakan turunan pada suatu titik untuk itu. Ini bukan sistem aljabar komputer yang lengkap.
• Turunannya memiliki batasan domain yang sama dengan ekspresi aslinya.

calcSalin

differentiate(sin(x), x) menghasilkan cos(x)

differentiate(x^3, x) menghasilkan (3*(x^(3-1)))

Turunan pada suatu titik

derivative(expression, name, point), atau differentiate dengan tiga argumen, menghitung kemiringan pada satu titik secara numerik. Fungsi ini memakai beda pusat yang diperhalus dan memeriksanya terhadap pendekatan satu sisi. Ekspresi boleh memakai fungsi buatan Anda, tetapi harus mulus di sekitar titik tersebut dan menggunakan bilangan real tanpa satuan. Jika pendekatan tidak konvergen atau salah satu sampel tidak terdefinisi, baris menampilkan kesalahan.

Karena bentuk numerik bekerja dengan nilai numerik, setiap nama selain variabel membutuhkan nilai. Ini berlaku untuk turunan pada titik, sum, product, solve dan integrate ; nama tanpa nilai menunjukkan Unsupported: Unknown name: diikuti dengan nama.

calcSalin

derivative(x^3, x, 2) menghasilkan 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) menghasilkan 6

differentiate(a*x^2, x) menghasilkan (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) menghasilkan Unsupported: Unknown name: a

Integral tentu

integrate(expression, name, lower, upper) menghitung luas di bawah kurva ekspresi di antara dua batas berhingga.

• Menukar batas mengubah tanda jawaban, dan batas yang sama memberikan nol.
• Ini menggunakan aturan Gauss-Kronrod 7- dan 15 poin yang adaptif, yang mengambil sampel pada titik yang tidak merata. Itu menjaga gelombang reguler seperti cos(128*pi*x) dari membodohinya: integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) memberikan sekitar -1.3e-15, yang nol hingga dalam pembulatan.
• Ini bertujuan untuk perkiraan kesalahan total paling banyak 1e-9 kali ukuran jawaban (atau 1e-9 untuk jawaban yang lebih kecil dari 1). Ini membandingkan setidaknya dua tingkat detail, memungkinkan untuk pembulatan kesalahan, dan memperbaiki bagian dengan perkiraan kesalahan terbesar terlebih dahulu.
• Itu berhenti setelah 2.048 penyempurnaan, 20 tingkat subdivisi, atau 100.000 langkah yang dibagikan dengan matematika tingkat lanjut lainnya di baris. Mencapai batas, atau sampel yang tidak terdefinisi, adalah sebuah kesalahan.
• Estimasi galat merupakan acuan, bukan jaminan. Gunakan ekspresi yang mulus dan bernilai berhingga. Hasil untuk ekspresi dengan lonjakan, diskontinuitas, atau osilasi cepat mungkin tidak akurat.
• Integral tak tentu dan batas tak hingga tidak didukung.

calcSalin

integrate(x^2, x, 0, 3) menghasilkan 9

integrate(x^2, x, 3, 0) menghasilkan -9

Argumen dan satuan dalam fungsi matematika

• factorial adalah nama lain untuk fact, dan trunc untuk int.
• sign mengembalikan -1, 0 atau 1. atan2(y, x) mengembalikan sudut dalam radian sebagai angka biasa.
• Argumen kedua opsional pada round, floor, dan ceil menyatakan kelipatan pembulatan, bukan jumlah angka desimal: round(17, 5) membulatkan ke kelipatan 5 terdekat. Untuk pembulatan berdasarkan jumlah desimal, lihat Pembulatan.
• Logaritma, eksponensial, dan fungsi hiperbolik tidak menerima unit atau uang. Trigonometri biasa menerima sudut seperti 30°.
• Akar kuadrat dan akar pangkat tiga mempertahankan satuan jika pangkat satuannya habis dibagi. Pemangkatan besaran juga mempertahankan satuannya. Suhu Celsius atau Fahrenheit tidak dapat dikuadratkan atau diakarkan.

calcSalin

gcd(12, 18) menghasilkan 6

round(17, 5) menghasilkan 15

sin(30°) menghasilkan 0.5

sqrt(9 m²) menghasilkan 3 m

(2 kg)^2 menghasilkan 4 kg²

Batasan

Batasan diperiksa sebelum jawaban ditampilkan:

• 1.024 item dalam daftar atau range
• Matriks hingga 32 × 32
• 10.000 suku dalam satu sum atau product
• 16 tingkat daftar bersarang dan panggilan fungsi
• 100.000 langkah dibagikan oleh semua matematika tingkat lanjut dalam satu baris, termasuk panggilan bersarang
• 4.096 bit pada pembilang atau penyebut pecahan, sama seperti bagian lain dalam Varlig Calc

Mencapai batas menunjukkan kesalahan pada baris itu, dan sisa catatan tetap berfungsi. Anda tidak pernah mendapatkan jumlah parsial, invers atau akar yang tidak konvergen disajikan sebagai jawaban. Untuk semua batasan dan seberapa tepat jawabannya, lihat Hasil membaca: tampilan dan presisi.