उन्नत गणित: सुविधाएँ और सीमाएँ

यह पृष्ठ Varlig Calc के उन्नत गणित का सार देता है: सूचियाँ, सदिश और मैट्रिक्स, सम्मिश्र संख्याएँ, योग और गुणनफल, समीकरण हल करना और कलन। हर सुविधा के लिए बताया गया है कि फ़ंक्शन क्या करते हैं, कौन-से इनपुट लेते हैं, उत्तर कितने सटीक हैं और सीमाएँ क्या हैं। किसी उत्तर पर संदेह हो तो यहाँ विवरण जाँचें।

अधिक उदाहरणों सहित परिचय के लिए सूचियाँ और सांख्यिकी, सदिश और मैट्रिक्स, सम्मिश्र संख्याएँ और योग, समीकरण हल करना और कलन देखें।

एक नज़र में

सूचियाँ, मैट्रिक्स और सम्मिश्र संख्याएँ सामान्य मान हैं। उन्हें नाम दे सकते हैं और अपने फ़ंक्शन में आर्ग्युमेंट के रूप में भेज सकते हैं। पिछली पंक्ति बदलने पर उनकी दोबारा गणना होती है।

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squares(n) = sum(k^2, k, 1, n)

squares(3) परिणाम 14

first(items) = items[0]

first([10, 20]) परिणाम 10

root(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

root(9) परिणाम 3

इंजन क्या गारंटी देता है

इस पृष्ठ की सभी सुविधाओं का एक नियम है: गणना या तो ऐसा उत्तर देती है जिसे Varlig सही मानता है, या कारण बताने वाली त्रुटि दिखाती है। सटीक गणना न हो पाए तो उसकी जगह केवल सही लगने वाली संख्या कभी नहीं दी जाती।

एक उत्तर कितना सटीक है

सटीक उत्तर वास्तव में सटीक रहता है: पंक्ति पढ़ने से लेकर उत्तर दिखाने के बीच मान राउंड नहीं होता। इसलिए उसे नाम देकर रखने और दोबारा इस्तेमाल करने पर भी सटीकता बनी रहती है। अनुमानित उत्तर sqrt से मिलने वाला वही सीमित दशमलव है। अंतिम प्रदर्शित अंक तक उसकी राउंडिंग की गारंटी नहीं है, इसलिए दो अनुमानित परिणामों को == से जाँचना विश्वसनीय नहीं। solve(x^2 - 2 = 0) और sqrt(2) दोनों 1.4142135624 दिखाते हैं, लेकिन बराबर नहीं हैं।

एक उत्तर में सटीक और अनुमानित मान मिलाए नहीं जाते। किसी द्विघात का विविक्तकर पूर्ण वर्ग न हो, तो उसके दोनों मूल अनुमानित होते हैं।

इकाइयाँ

इकाइयों वाले और बिना इकाई वाले मान मिलाने पर, केवल संख्याएँ चुपचाप पढ़ने के बजाय त्रुटि आती है। एक पुराना अपवाद है: अकेला 0 बाकी मानों की इकाई में माना जाता है।

क्या मना किया गया है

इनमें से कोई भी संख्यात्मक मान या वाक्य नहीं देता है। प्रत्येक एक त्रुटि है जो यह नाम देती है कि यह क्या नहीं कर सकता है और, जहां एक है, इसके बजाय लिखने के लिए समर्थित फॉर्मः

• 2 से अधिक घात का बहुपद समीकरण, गैर-बहुपद समीकरण, हर या घातांक में अज्ञात, दो अपरिभाषित नाम, बिना अज्ञात वाला समीकरण, या इकाइयों अथवा रकम वाला समीकरण—इन सभी के लिए संदेश चार आर्ग्युमेंट वाले संख्यात्मक solve का सुझाव देता है।
• ऐसा समीकरण जिसका कोई वास्तविक मूल न हो—सम्मिश्र मूल देने के बजाय त्रुटि आती है। इसी तरह, हर मान से संतुष्ट होने वाले समीकरण में किसी एक मान को उत्तर चुनने के बजाय त्रुटि आती है।
• मैट्रिक्स की ऐसी संक्रिया जिसमें आयाम मेल न खाते हों या आवश्यक वर्गाकार आकार न हो, सिंगुलर मैट्रिक्स का प्रतिलोम, या बिना इकाई वाली संख्या के अलावा कोई प्रविष्टि।
• जब कुछ भी न दोहराए या कई मान बराबर बार आएँ तो mode; 0 से 100 की सीमा के बाहर प्रतिशतक; 0 से 4 के बाहर चतुर्थक; और खाली सूची पर sum, product तथा count के अलावा कोई भी सांख्यिकीय गणना।

जानबूझकर कहीं भी समर्थित नहीं हैं: बहुपद के गुणांक एकत्र करने से आगे प्रतीकात्मक पुनर्व्यवस्था, युगपत गैर-रैखिक समीकरण, वास्तविक समीकरण के सम्मिश्र मूल, इकाइयों या रकम के मैट्रिक्स, प्रतीकात्मक समाकलन और ग्राफ़ बनाना।

संदेश स्वयं त्रुटियाँ, निदान और सीमाएँ में सूचीबद्ध हैं।

सूचियाँ और गणितीय फ़ंक्शन लिखना

• कॉमा वस्तुओं और तर्कों को अलग करता है। एक कॉमा के बाद एक स्थान हमेशा अलग करता है, और एक कॉमा के बाद ठीक तीन अंक हजारों को समूह बनाता है, इसलिए [1,200, 1,800] में दो वस्तुएँ हैं। बिना स्थानों के, प्रत्येक कॉमा अलग करता है, जैसे [12,-51,4] में। जहाँ कॉमा को दोनों तरह से पढ़ा जा सकता है, जैसे [1,234] में, त्रुटि इसे लिखने के दोनों तरीकों को दिखाती है। संख्यात्मक मान के अंशों के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करें।
• मैट्रिक्स पंक्तियों की सूचियाँ हैं, जैसे [[1,2],[3,4]]। [1,2;3,4] जैसा अर्धविराम वाला छोटा रूप उपलब्ध नहीं है।
• इंडेक्स 0 से शुरू होते हैं और 0 या उससे बड़े पूर्णांक होने चाहिए। सूची की अंतिम स्थिति से आगे का इंडेक्स त्रुटि देता है। उसे वापस शुरुआत पर नहीं लाया जाता और न ही सीमा में लाने के लिए घटाया जाता है।
• आर्ग्युमेंट की संख्या जाँची जाती है। sqrt(4,9) पर अनुमान लगाने के बजाय त्रुटि आती है।

सूचियाँ और सांख्यिकी

ये फ़ंक्शन सूची स्वीकार करते हैं: length या count, sum, product, average या mean, median, min, max, mode और modes, percentile और quartile, तथा फैलाव मापने वाले variance, sample_variance, population_variance, stddev, sample_stddev और population_stddev।

• mode केवल तभी उत्तर देता है जब एक मान कड़ाई से सबसे आम होता है; एक टाई और एक सूची जहां कुछ भी नहीं दोहराता है, दोनों त्रुटियाँ हैं जो modes, median या average नाम देती हैं। modes हर सबसे आम मान देता है।
• percentile(list, rank) 0 से 100 तक का एक रैंक लेता है और दो निकटतम रैंकों के बीच रैखिक रूप से इंटरपोलेट करता है, समावेशी परिभाषा: 50वां प्रतिशतक माध्यिका है, और 0वां और 100वां सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं। quartile(list, k) 0 से 4 तक का पूरा k लेता है और percentile(list, 25k) होता है।
• variance और stddev नमूने वाले रूप हैं। वे n - 1 से भाग देते हैं और कम से कम दो मान चाहते हैं। population_variance और population_stddev पूरे समुच्चय वाले रूप हैं; वे n से भाग देते हैं और कम से कम एक मान चाहते हैं। sample_variance और sample_stddev संबंधित छोटे नामों के ही लंबे रूप हैं।
• एक ख़ाली सूची में 0 का sum, 1 का product और 0 का count होता है। एक ख़ाली सूची के अन्य आंकड़े त्रुटियाँ हैं।
• एक ही लंबाई की दो सूचियां आइटम द्वारा आइटम जोड़ें और घटाएं। आप एक संख्यात्मक मान से एक सूची को गुणा या विभाजित कर सकते हैं, और == के साथ दो सूचियों की तुलना कर सकते हैं।
• range(start, end, step) में दोनों छोर शामिल हैं। चरण वैकल्पिक है।
• dot(a, b) दो वास्तविक वैक्टरों को गुणा करता है।

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spend = [420, 385, 510, 460] परिणाम [420, 385, 510, 460]

sum(spend) परिणाम 1,775

average(spend) परिणाम 443.75

median(spend) परिणाम 440

spend[0] परिणाम 420

spend * 1.1 परिणाम [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) परिणाम [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

सूची परिवर्तन

• slice को पूर्ण संख्याओं की आवश्यकता होती है जहाँ 0 ≤ प्रारंभ ≤ अंत ≤ सूची की लंबाई हो। अन्य सीमाएँ त्रुटियाँ हैं।
• variance के लिए कम से कम दो बिना इकाई वाली संख्याएँ चाहिए।
• map और filter पहले अभिव्यक्ति लेते हैं, फिर प्रत्येक आइटम के लिए उपयोग करने के लिए नाम, फिर सूची। नाम केवल कॉल के अंदर लागू होता है, इसलिए यह आपके द्वारा कहीं और परिभाषित नाम को नहीं बदलता है। filter में अभिव्यक्ति को true या false देना चाहिए।

सदिश और आव्यूह

वेक्टर फ्लैट सूचियां हैं और मैट्रिक्स पंक्तियों की सूची हैं। मैट्रिक्स आयताकार होना चाहिए, जिसमें इकाइयों के बिना वास्तविक संख्याएं होनी चाहिए, और 1 से 32 पंक्तियां और कॉलम होना चाहिए।

सटीक परिणाम। det, inverse, rank और solve_system सटीक भिन्न इस्तेमाल करते हैं। rank में राउंडिंग की सहनशीलता नहीं है। solve_system सिंगुलर समीकरण-तंत्र पर त्रुटि देता है। वह गैर-रैखिक तंत्र या अनंत हल वाले तंत्र हल नहीं करता।

अनुमानित परिणाम। eigenvalues, qr, lu और svd फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना करते हैं और जाँचते हैं कि परिणाम परिमित है। qr और svd आयताकार मैट्रिक्स स्वीकार करते हैं और संक्षिप्त (“thin”) गुणक लौटाते हैं। आइगेनवैल्यू और SVD की गणना 10,000 पुनरावृत्तियों के बाद रुक जाती है। उत्तर में सबसे बड़ी प्रविष्टि की तुलना में केवल राउंडिंग त्रुटि जितनी छोटी प्रविष्टि 0 दिखाई जाती है, लेकिन इंडेक्स से पढ़ने पर उसका रखा हुआ मान मिलता है। खराब कंडीशन वाले मैट्रिक्स में सटीकता घट सकती है, इसलिए इन परिणामों को == से न जाँचें।

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# Two adult tickets and one child ticket cost 34; one adult and two children cost 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) परिणाम [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) परिणाम 3

rank([[1,2],[2,4]]) परिणाम 1

सम्मिश्र संख्याएँ

i काल्पनिक इकाई है, जब तक कि आपने i नामक नाम या कस्टम इकाई को परिभाषित नहीं किया है।

• फ़ंक्शन: complex(real, imaginary), real, imag, conj, abs, arg (रेडियन में) और sqrt (प्रधान मूल), सभी सम्मिश्र संख्याएँ स्वीकार करते हैं।
• सटीकता: वास्तविक और काल्पनिक भाग, अंकगणित और पूर्णांक घात सटीक रहते हैं। सामान्य मूल और arg अनुमानित होते हैं।
• वास्तविक परिणाम: काल्पनिक भाग कट जाने पर उत्तर सामान्य वास्तविक संख्या है, जैसे (2+3i) * (2-3i) में। लेकिन स्पष्ट रूप से सम्मिश्र लिखा मान, जैसे -4 + 0i या complex(-4,0), गणनाओं और नामों में सम्मिश्र ही रहता है, भले ही वह -4 दिखे।
• ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल और लघुगणक: sqrt(-4), ln(-1) और log(-100) वास्तविक संख्याओं तक सीमित रहते हैं। वे काल्पनिक संख्या की त्रुटि दिखाते हैं और उपयुक्त सम्मिश्र रूप सुझाते हैं, जैसे sqrt(-4 + 0i)। इससे या sqrt(complex(-4,0)) से 2i मिलता है।
• प्रदर्शन: एक हिस्सा जो केवल फ़्लोटिंग-पॉइंट राउंड-ऑफ़ है, 0 के रूप में दिखाता है, इसलिए exp(i*pi) -1 दिखाता है। संग्रहीत मूल्य अपने अंकों को रखता है।
• तुलना: < और > केवल तभी काम करते हैं जब दोनों काल्पनिक भाग शून्य होते हैं।
• अन्य फ़ंक्शन: sin, cos, tan और उनके प्रतिलोम, अतिपरवलयिक फ़ंक्शन और उनके प्रतिलोम, exp, ln, log या log10, log2, cbrt, तथा भिन्न या सम्मिश्र घात—सभी सम्मिश्र संख्याएँ स्वीकार करते हैं। ये फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना और प्रधान शाखाएँ इस्तेमाल करते हैं। शून्य का लघुगणक और कोई भी अपरिमित परिणाम त्रुटि देता है।

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(2+3i) * (2-3i) परिणाम 13

abs(3+4i) परिणाम 5

sqrt(-4 + 0i) परिणाम 2i

sqrt(complex(-4,0)) परिणाम 2i

sqrt(-4) परिणाम Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) परिणाम -1

योग और गुणनफल

sum(expression, name, from, to) दोनों सिरों सहित, from से to तक प्रत्येक पूर्ण संख्या के लिए अभिव्यक्ति जोड़ता है। summation इसके लिए एक और नाम है, और product इसके बजाय गुणा करता है।

• नाम कॉल के लिए स्थानीय है। यह आपके द्वारा पहले से परिभाषित नाम को नहीं बदलता है, और यह लाइन को एक पर निर्भर नहीं करता है।
• एक योग या गुणनफल को दूसरे के भीतर रख सकते हैं।
• यदि to from से कम है, तो सीमा ख़ाली है: योग 0 है और उत्पाद 1 है।
• एक कॉल में अधिकतम 10,000 पद हो सकते हैं।

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sum(k^2, k, 1, 10) परिणाम 385

product(k, k, 1, 5) परिणाम 120

k = 7 परिणाम 7

sum(k, k, 1, 3) परिणाम 6

k परिणाम 7

समीकरणों को हल करना

solve(equation) एक अज्ञात में डिग्री 1 या 2 के बहुपद समीकरण को पढ़ता है और इसके मूल का काम करता है। अज्ञात समीकरण में एक नाम है जिसका कोई मूल्य नहीं है; एक नाम जिसमें एक है उसे उसकी राशि के रूप में पढ़ा जाता है, और दाहिने हाथ की ओर को छोड़ दिया जा सकता है, जिस स्थिति में अभिव्यक्ति शून्य पर सेट की जाती है।

• रैखिक समीकरण का उत्तर एक संख्या होता है। द्विघात का उत्तर उसके अलग-अलग वास्तविक मूलों की आरोही क्रम वाली सूची होता है; दोहराया मूल केवल एक तत्व वाली सूची देता है। उत्तर का रूप लिखी गई घात से तय होता है, मिले मूलों की संख्या से नहीं।
• गुणांक और उनकी पुनर्व्यवस्था सटीक होती है। विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो तो मूल भी सटीक होते हैं। दूसरे द्विघात समीकरणों में दोनों मूल दशमलव वर्गमूल के आधार पर निकलते हैं।
• दोनों तरफ बिना इकाई वाली संख्याएँ होनी चाहिए। इकाइयाँ, रकम और सम्मिश्र मान स्वीकार नहीं हैं।
• कोई वास्तविक मूल न वाला समीकरण जटिल मूल के बजाय Error: no real solution देता है, और एक समीकरण जो हर मान को संतुष्ट करता है, वह मान चुनने के बजाय ऐसा कहता है।
• कुछ और - डिग्री 3 और ऊपर, एक ग़ैर-बहुपद समीकरण, एक भाजक या एक घातांक में अज्ञात, मूल्य के बिना एक दूसरा नाम - नीचे दिए गए चार-तर्क रूप का नामकरण करने वाले संदेश के साथ अस्वीकार कर दिया गया है।

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solve(2x + 6 = 10) परिणाम 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) परिणाम [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) परिणाम [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) परिणाम Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) एक अलग फ़ंक्शन है: यह lower और upper के बीच name का एक वास्तविक मान पाता है जहां अभिव्यक्ति शून्य है। solve(left = right, name, lower, upper) पाता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।

• सीमाएँ सीमित संख्याएँ होनी चाहिए, जिसमें lower upper से कम हो।
• ठीक किसी सीमा पर मिलने वाला मूल स्वीकार होता है। अन्यथा व्यंजक एक सीमा पर धनात्मक और दूसरी पर ऋणात्मक होना चाहिए तथा बीच में सतत होना चाहिए।
• खोज हर चरण में अंतराल आधा करती है। अधिकतम 128 चरणों के भीतर व्यंजक शून्य से 1e-10 के भीतर हो और अंतराल पर्याप्त संकरा हो जाए, तो खोज सफल है। यदि जाँचे गए किसी बिंदु पर व्यंजक अपरिभाषित हो या खोज स्थिर न हो, तो पंक्ति त्रुटि दिखाती है।
• यह एक जड़ पाता है, उनमें से सभी नहीं। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए, solve_system का उपयोग करें।

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solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) परिणाम 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) परिणाम 1.4142135624

कलन

प्रतीकात्मक अवकलज

differentiate(expression, name), जिसे derivative(expression, name) भी लिख सकते हैं, अवकलज को टेक्स्ट के रूप में देता है।

• यह बिना इकाई वाली वास्तविक संख्याओं के अंकगणित तथा sin, cos, tan, sinh, cosh, exp, ln और sqrt पर योग, गुणनफल, भागफल, घात और श्रृंखला नियम लागू करता है।
• अभिव्यक्ति में अन्य नामों को स्थिरांक के रूप में माना जाता है, चाहे नोट में उनका मान हो या नहीं: differentiate(a*x^2, x) (a*(2*(x^(2-1)))) देता है।
• परिणाम को सरल नहीं किया जाता और उसकी सीमा 8,192 वर्ण है।
• abs जैसे अन्य फ़ंक्शन त्रुटि देते हैं; उनके लिए किसी बिंदु पर संख्यात्मक अवकलज निकालें। यह पूर्ण कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली नहीं है।
• अवकलज पर मूल व्यंजक जैसी ही परिभाषा-क्षेत्र की सीमाएँ लागू होती हैं।

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differentiate(sin(x), x) परिणाम cos(x)

differentiate(x^3, x) परिणाम (3*(x^(3-1)))

किसी बिंदु पर अवकलज

derivative(expression, name, point), या तीन आर्ग्युमेंट वाला differentiate, एक बिंदु पर ढाल की संख्यात्मक गणना करता है। यह सुधारे गए केंद्रीय अंतर इस्तेमाल करता है और उन्हें एकतरफ़ा अनुमानों से जाँचता है। व्यंजक में अपने फ़ंक्शन इस्तेमाल कर सकते हैं, लेकिन वह बिंदु के आसपास चिकना होना चाहिए और उसमें बिना इकाई वाली वास्तविक संख्याएँ होनी चाहिए। अनुमान स्थिर न हो या जाँचा गया कोई मान अपरिभाषित हो, तो पंक्ति त्रुटि दिखाती है।

संख्यात्मक रूप एक संख्या निकालते हैं, इसलिए चर के अलावा हर नाम का मान होना चाहिए। यह किसी बिंदु पर अवकलज, sum, product, solve और integrate पर लागू है। किसी नाम का मान न हो तो Unsupported: Unknown name: के बाद उसका नाम दिखता है।

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derivative(x^3, x, 2) परिणाम 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) परिणाम 6

differentiate(a*x^2, x) परिणाम (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) परिणाम Unsupported: Unknown name: a

निश्चित समाकल

integrate(expression, name, lower, upper) दो परिमित सीमाओं के बीच व्यंजक के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल निकालता है।

• सीमाओं को स्वैप करने से उत्तर का चिह्न बदल जाता है, और बराबर सीमा शून्य देती है।
• यह अनुकूली 7- और 15-पॉइंट गॉस-क्रोनरोड नियमों का उपयोग करता है, जो असमान बिंदुओं पर नमूना देते हैं। यह एक नियमित लहर जैसे कि cos(128*pi*x) को इसे मूर्ख बनाने से रोकता है: integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) लगभग -1.3e-15 देता है, जो गोल करने के भीतर शून्य है।
• इसका लक्ष्य कुल अनुमानित त्रुटि को उत्तर के परिमाण के अधिकतम 1e-9 गुने तक रखना है; 1 से छोटे उत्तरों के लिए सीमा 1e-9 है। यह कम से कम दो स्तरों की बारीकी की तुलना करता है, राउंडिंग त्रुटि का ध्यान रखता है और सबसे बड़ी अनुमानित त्रुटि वाले हिस्से को पहले सुधारता है।
• यह 2,048 परिशोधन, उपखंड के 20 स्तरों, या लाइन में अन्य उन्नत गणित के साथ साझा किए गए 100,000 चरणों के बाद रुक जाता है। एक सीमा, या एक अपरिभाषित नमूने तक पहुंचना एक गलती है।
• त्रुटि अनुमान एक अच्छा मार्गदर्शक है, गारंटी नहीं। चिकनी, परिमित अभिव्यक्तियों का उपयोग करें। स्पाइक्स, जंप या फास्ट ऑसीलेशन के साथ अभिव्यक्तियों के परिणाम ग़लत हो सकते हैं।
• अनिश्चित समाकल और अनंत सीमाएँ समर्थित नहीं हैं।

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integrate(x^2, x, 0, 3) परिणाम 9

integrate(x^2, x, 3, 0) परिणाम -9

गणितीय फ़ंक्शन में आर्ग्युमेंट और इकाइयाँ

• factorial fact का दूसरा नाम है, और int के लिए trunc है।
• sign -1, 0 या 1 लौटाता है। atan2(y, x) रेडियन में एक कोण को एक सादे संख्या के रूप में लौटाता है।
• round, floor और ceil का वैकल्पिक दूसरा आर्ग्युमेंट अंतराल है, दशमलव स्थानों की संख्या नहीं। round(17, 5) निकटतम 5 के गुणज तक राउंड करता है। दशमलव स्थानों तक राउंड करने के लिए राउंड करना देखें।
• लघुगणक, घातांक और अतिपरवलय फलन इकाइयों या धन को स्वीकार नहीं करते हैं। साधारण त्रिकोणमिति 30° जैसे कोणों को स्वीकार करती है।
• इकाई की घात पूरी तरह विभाजित हो तो वर्गमूल और घनमूल के साथ इकाइयाँ बनी रहती हैं। मात्रा की घात में भी इकाई रहती है। सेल्सियस या फ़ारेनहाइट के तापमान का वर्ग या मूल नहीं निकाल सकते।

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gcd(12, 18) परिणाम 6

round(17, 5) परिणाम 15

sin(30°) परिणाम 0.5

sqrt(9 m²) परिणाम 3 m

(2 kg)^2 परिणाम 4 kg²

सीमाएं

उत्तर दिखाने से पहले सीमाओं की जांच की जाती है:

• एक सूची या range में 1,024 आइटम
• 32 × 32 तक मैट्रिक्स
• एक sum या product में 10,000 पद
• नेस्टेड सूचियों और फ़ंक्शन कॉल के 16 स्तर
• नेस्टेड कॉल सहित एक पंक्ति में सभी उन्नत गणित द्वारा साझा किए गए 100,000 चरण
• भिन्न के अंश या हर में 4,096 बिट, Varlig Calc के बाकी हिस्सों की तरह

सीमा तक पहुँचने पर संबंधित पंक्ति में त्रुटि आती है और नोट का बाकी हिस्सा काम करता रहता है। अधूरा योग, अधूरा प्रतिलोम या अभिसरण तक न पहुँचा मूल कभी उत्तर के रूप में नहीं दिया जाता। सभी सीमाओं और उत्तरों की सटीकता के लिए परिणाम पढ़ना: प्रदर्शन और परिशुद्धता देखें।