Geavanceerde wiskunde: functies en grenzen

Deze pagina vat de geavanceerde wiskunde van Varlig Calc samen: lijsten, vectoren en matrices, complexe getallen, sommen en producten, vergelijkingen oplossen en differentiaal- en integraalrekening. Per onderdeel staat beschreven wat de functies doen, welke invoer ze accepteren, hoe exact de resultaten zijn en waar de grenzen liggen. Raadpleeg deze pagina als een resultaat je verrast.

Voor een inleiding met meer voorbeelden lees je de handleidingen: Lijsten en statistiek, Vectoren en matrices, Complexe getallen en Sommatie, vergelijkingen oplossen en differentiaal- en integraalrekening.

In één oogopslag

Lijsten, matrices en complexe getallen zijn gewone waarden. Je kunt ze een naam geven, doorgeven aan zelf gedefinieerde functies en opnieuw laten berekenen door een eerdere regel te bewerken.

calcKopiëren

squares(n) = sum(k^2, k, 1, n)

squares(3) geeft 14

first(items) = items[0]

first([10, 20]) geeft 10

root(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

root(9) geeft 3

Wat de rekenkern garandeert

Alles op deze pagina volgt één regel: een berekening levert een resultaat op dat Varlig kan verantwoorden, of een foutmelding die uitlegt waarom dat niet kan. Een exacte berekening valt nooit terug op een getal dat er alleen aannemelijk uitziet.

Hoe exact een antwoord is

Exact betekent exact: tussen het lezen van de regel en het tonen van het resultaat wordt niets afgerond. Een exact resultaat blijft dus exact als je het een naam geeft, opslaat en opnieuw gebruikt. Een benadering gebruikt dezelfde begrensde decimale precisie als sqrt. De laatste weergegeven decimaal is niet gegarandeerd correct afgerond. Daarom is twee benaderingen met == vergelijken geen betrouwbare test: solve(x^2 - 2 = 0) en sqrt(2) tonen allebei 1.4142135624, maar zijn niet gelijk.

Eén resultaat combineert nooit beide vormen. Bij een kwadratische vergelijking waarvan de discriminant geen volkomen kwadraat is, zijn beide wortels benaderingen.

Eenheden

Waarden met en zonder eenheid combineren geeft een fout, in plaats van ongemerkt alleen de getallen te gebruiken. Er is één bestaande uitzondering: een kale 0 krijgt de eenheid van de andere waarden.

Wat wordt geweigerd

Geen van de volgende gevallen levert een getal of een gewone tekstzin op. Elk geval geeft een foutmelding die benoemt wat niet mogelijk is en, waar beschikbaar, welke ondersteunde vorm je wel kunt invoeren:

• Een veeltermvergelijking van hogere graad dan 2, een niet-veeltermvergelijking, een onbekende in een deler of exponent, twee namen zonder waarde, een vergelijking zonder onbekende of een vergelijking met eenheden of geld. Elk van deze gevallen verwijst naar de numerieke solve met vier argumenten.
• Een vergelijking zonder reële wortel geeft een fout in plaats van een complexe wortel; een vergelijking waaraan elke waarde voldoet geeft een fout in plaats van één willekeurige waarde.
• Een matrixbewerking met onverenigbare afmetingen of een niet-vierkante matrix waar een vierkante vereist is, de inverse van een singuliere matrix of een element dat geen gewoon getal is.
• mode als geen waarde meermaals voorkomt of meerdere waarden even vaak het vaakst voorkomen; een percentiel buiten 0 tot 100; een kwartiel buiten 0 tot 4; en elke statistische functie behalve sum, product en count op een lege lijst.

Bewust nergens ondersteund: symbolisch herschrijven behalve het verzamelen van veeltermcoëfficiënten, niet-lineaire stelsels, complexe wortels van een reële vergelijking, matrices met eenheden of geld, symbolisch integreren en grafieken tekenen.

De meldingen zelf staan in Fouten, diagnostiek en limieten.

Lijsten en wiskundige functies schrijven

• Komma’s scheiden elementen en argumenten. Een komma gevolgd door een spatie is altijd een scheidingsteken. Een komma gevolgd door precies drie cijfers groepeert duizendtallen, dus [1,200, 1,800] bevat twee elementen. Zonder spaties is elke komma een scheidingsteken, zoals in [12,-51,4]. Als beide interpretaties mogelijk zijn, zoals bij [1,234], toont de foutmelding beide ondubbelzinnige schrijfwijzen. Gebruik een decimale punt voor niet-gehele getallen.
• Matrices zijn lijsten van rijen, bijvoorbeeld [[1,2],[3,4]]. Er is geen verkorte schrijfwijze met puntkomma’s zoals [1,2;3,4].
• Indexen beginnen bij 0 en moeten gehele getallen van 0 of hoger zijn. Een index voorbij het einde van de lijst geeft een fout; de index begint nooit opnieuw bij het begin en wordt niet afgekapt tot een geldige waarde.
• Het aantal argumenten wordt gecontroleerd. sqrt(4,9) geeft een fout in plaats van een gok.

Lijsten en statistiek

Deze functies accepteren een lijst: length of count, sum, product, average of mean, median, min, max, mode en modes, percentile en quartile, en de spreidingsfuncties variance, sample_variance, population_variance, stddev, sample_stddev en population_stddev.

• mode geeft alleen een resultaat als één waarde strikt vaker voorkomt dan alle andere. Gelijke frequenties aan de top en een lijst zonder herhaalde waarden geven beide een foutmelding die naar modes, median of average verwijst. modes geeft alle waarden die het vaakst voorkomen.
• percentile(list, rank) accepteert een rang van 0 tot 100 en interpoleert lineair tussen de twee dichtstbijzijnde posities, volgens de inclusieve definitie. Het 50e percentiel is de mediaan; het 0e en 100e zijn de kleinste en grootste waarde. quartile(list, k) accepteert een gehele k van 0 tot 4 en komt overeen met percentile(list, 25k).
• variance en stddev zijn de steekproefvarianten: ze delen door n - 1 en vereisen twee waarden. population_variance en population_stddev delen door n en vereisen één waarde. sample_variance en sample_stddev zijn langere namen voor de korte varianten.
• Een lege lijst heeft een sum van 0, een product van 1 en een count van 0. Andere statistische functies op een lege lijst geven een fout.
• Twee lijsten van gelijke lengte worden element voor element opgeteld of afgetrokken. Je kunt een lijst met een getal vermenigvuldigen of door een getal delen, en twee lijsten vergelijken met ==.
• range(start, end, step) omvat beide grenswaarden. De stapgrootte is optioneel.
• dot(a, b) berekent het inwendig product van twee reële vectoren.

calcKopiëren

spend = [420, 385, 510, 460] geeft [420, 385, 510, 460]

sum(spend) geeft 1,775

average(spend) geeft 443.75

median(spend) geeft 440

spend[0] geeft 420

spend * 1.1 geeft [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) geeft [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

Lijsten omvormen

• slice vereist gehele getallen waarvoor 0 ≤ start ≤ end ≤ de lengte van de lijst. Andere grenzen geven een fout.
• variance vereist minstens twee getallen zonder eenheden.
• map en filter krijgen eerst de uitdrukking, dan de naam voor elk element en daarna de lijst. Die naam geldt alleen binnen de functieaanroep en verandert dus geen elders gedefinieerde naam. De uitdrukking in filter moet true of false opleveren.

Vectoren en matrices

Vectoren zijn vlakke lijsten en matrices zijn lijsten van rijen. Matrices moeten rechthoekig zijn, reële getallen zonder eenheden bevatten en 1 tot 32 rijen en kolommen hebben.

Exacte resultaten. det, inverse, rank en solve_system gebruiken exacte breuken. rank kent geen afrondingstolerantie. solve_system geeft een fout bij een singulier stelsel en ondersteunt geen niet-lineaire stelsels of stelsels met oneindig veel oplossingen.

Benaderde resultaten. eigenvalues, qr, lu en svd gebruiken drijvendekommagetallen en controleren of hun uitvoer eindig is. qr en svd accepteren rechthoekige matrices en geven de compacte (“thin”) factoren terug. Berekeningen van eigenwaarden en SVD stoppen na 10.000 iteraties. Een element dat ten opzichte van het grootste element alleen afrondingsruis is, verschijnt als 0 in het resultaat; via indexering krijg je de opgeslagen waarde. Bij slecht geconditioneerde matrices kan nauwkeurigheid verloren gaan. Test deze resultaten daarom niet met ==.

calcKopiëren

# Two adult tickets and one child ticket cost 34; one adult and two children cost 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) geeft [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) geeft 3

rank([[1,2],[2,4]]) geeft 1

Complexe getallen

i is de imaginaire eenheid, tenzij je een naam of eigen eenheid met de naam i hebt gedefinieerd.

• Functies: complex(real, imaginary), real, imag, conj, abs, arg (in radialen) en sqrt (de hoofdwortel) accepteren allemaal complexe getallen.
• Exactheid: de delen, rekenbewerkingen en gehele machten blijven exact. Algemene wortels en arg zijn benaderingen.
• Reële resultaten: als de imaginaire delen elkaar opheffen, zoals in (2+3i) * (2-3i), is het resultaat een gewoon reëel getal. Een waarde die je als complex invoert, zoals -4 + 0i of complex(-4,0), blijft complex bij rekenbewerkingen en gebruik via namen, ook al wordt deze als -4 weergegeven.
• Vierkantswortels en logaritmen van negatieve getallen: sqrt(-4), ln(-1) en log(-100) blijven in het reële domein en geven een fout over imaginaire getallen, met de complexe schrijfwijze die je kunt gebruiken, bijvoorbeeld sqrt(-4 + 0i). Die vorm, of sqrt(complex(-4,0)), geeft 2i.
• Weergave: een deel dat alleen afrondingsruis van drijvendekommagetallen is, verschijnt als 0. Daardoor toont exp(i*pi) het resultaat -1. De opgeslagen waarde behoudt haar cijfers.
• Vergelijkingen: < en > werken alleen als beide imaginaire delen nul zijn.
• Andere functies: sin, cos, tan en hun inversen, de hyperbolische functies en hun inversen, exp, ln, log of log10, log2, cbrt en fractionele of complexe machten accepteren allemaal complexe getallen. Ze gebruiken drijvendekommagetallen en hoofdtakken. De logaritme van nul en elk niet-eindig resultaat geven een fout.

calcKopiëren

(2+3i) * (2-3i) geeft 13

abs(3+4i) geeft 5

sqrt(-4 + 0i) geeft 2i

sqrt(complex(-4,0)) geeft 2i

sqrt(-4) geeft Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) geeft -1

Sommen en producten

sum(expression, name, from, to) telt de uitdrukking op voor elk geheel getal van from tot en met to. summation is een andere naam hiervoor; product vermenigvuldigt in plaats van op te tellen.

• De naam is lokaal binnen de functieaanroep. Deze verandert geen eerder gedefinieerde naam en maakt de regel daar ook niet afhankelijk van.
• Je kunt een som of product in een andere som of een ander product opnemen.
• Als to kleiner is dan from, is het bereik leeg: de som is 0 en het product is 1.
• Eén functieaanroep kan maximaal 10.000 termen bevatten.

calcKopiëren

sum(k^2, k, 1, 10) geeft 385

product(k, k, 1, 5) geeft 120

k = 7 geeft 7

sum(k, k, 1, 3) geeft 6

k geeft 7

Vergelijkingen oplossen

solve(equation) leest een veeltermvergelijking van graad 1 of 2 met één onbekende en berekent de wortels. De onbekende is de enige naam in de vergelijking zonder waarde. Een naam met een waarde wordt als dat getal gelezen. Je mag de rechterkant weglaten; dan wordt de uitdrukking gelijkgesteld aan nul.

• Een lineaire vergelijking geeft het getal terug. Een kwadratische vergelijking geeft een lijst van de verschillende reële wortels in oplopende volgorde; een dubbele wortel levert dus een lijst met één element op. De vorm hangt af van de ingevoerde graad, niet van de gevonden wortels.
• De coëfficiënten en het herschrijven ervan zijn exact, net als de wortels wanneer de discriminant een volkomen kwadraat is. Elke andere kwadratische vergelijking levert twee decimale wortelbenaderingen op.
• Beide kanten moeten gewone getallen zijn. Eenheden, geld en complexe waarden worden geweigerd.
• Een vergelijking zonder reële wortel geeft Error: no real solution in plaats van een complexe wortel. Een vergelijking waaraan elke waarde voldoet meldt dat, in plaats van een waarde te kiezen.
• Al het andere — graad 3 of hoger, een niet-veeltermvergelijking, een onbekende in een deler of exponent, een tweede naam zonder waarde — wordt geweigerd met een melding die verwijst naar de vorm met vier argumenten hieronder.

calcKopiëren

solve(2x + 6 = 10) geeft 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) geeft [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) geeft [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) geeft Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) is een andere functie: deze zoekt één reële waarde van name tussen lower en upper waarbij de uitdrukking nul is. solve(left = right, name, lower, upper) zoekt waar beide kanten gelijk zijn.

• De grenzen moeten eindige getallen zijn, waarbij lower kleiner is dan upper.
• Een wortel die precies op een grens ligt wordt geaccepteerd. Anders moet de uitdrukking aan de ene grens positief en aan de andere negatief zijn, en hoort deze daartussen continu te zijn.
• De zoekactie halveert het interval bij elke stap. Ze slaagt als de uitdrukking minder dan 1e-10 van nul afwijkt en het interval smal genoeg is, binnen 128 stappen. Als de uitdrukking op een geteste plek ongedefinieerd is of de zoekactie niet convergeert, toont de regel een fout.
• De functie vindt één wortel, niet alle wortels. Gebruik solve_system voor stelsels lineaire vergelijkingen.

calcKopiëren

solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) geeft 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) geeft 1.4142135624

Differentiaal- en integraalrekening

Symbolische afgeleiden

differentiate(expression, name), ook geschreven als derivative(expression, name), geeft de afgeleide terug als tekst.

• De functie gebruikt de som-, product-, quotiënt-, machts- en kettingregel op reële rekenbewerkingen zonder eenheden, plus sin, cos, tan, sinh, cosh, exp, ln en sqrt.
• Andere namen in de uitdrukking worden als constanten behandeld, ongeacht of ze in de notitie een waarde hebben: differentiate(a*x^2, x) geeft (a*(2*(x^(2-1)))).
• Het resultaat wordt niet vereenvoudigd en is beperkt tot 8.192 tekens.
• Andere functies, zoals abs, geven een fout; gebruik daarvoor een afgeleide in een punt. Dit is geen volledig computeralgebrasysteem.
• De afgeleide heeft dezelfde domeinbeperkingen als de oorspronkelijke uitdrukking.

calcKopiëren

differentiate(sin(x), x) geeft cos(x)

differentiate(x^3, x) geeft (3*(x^(3-1)))

Afgeleiden in een punt

derivative(expression, name, point), of differentiate met drie argumenten, berekent numeriek de helling in één punt. De functie gebruikt verfijnde centrale differenties en vergelijkt die met eenzijdige schattingen. De uitdrukking mag zelf gedefinieerde functies gebruiken, maar moet rond het punt glad zijn en reële getallen zonder eenheden gebruiken. Als de schatting niet convergeert of een bemonsterde waarde ongedefinieerd is, toont de regel een fout.

Omdat de numerieke vormen een getal berekenen, heeft elke naam behalve de variabele een waarde nodig. Dit geldt voor afgeleiden in een punt, sum, product, solve en integrate. Een naam zonder waarde geeft Unsupported: Unknown name: gevolgd door die naam.

calcKopiëren

derivative(x^3, x, 2) geeft 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) geeft 6

differentiate(a*x^2, x) geeft (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) geeft Unsupported: Unknown name: a

Bepaalde integralen

integrate(expression, name, lower, upper) berekent de oppervlakte onder de uitdrukking tussen twee eindige grenzen.

• De grenzen omwisselen keert het teken van het resultaat om; gelijke grenzen geven nul.
• De functie gebruikt adaptieve Gauss–Kronrod-regels met 7 en 15 punten, die op ongelijk verdeelde punten bemonsteren. Zo kan een regelmatige golf zoals cos(128*pi*x) de methode niet misleiden: integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) geeft ongeveer -1.3e-15, wat binnen de afrondingsnauwkeurigheid nul is.
• De methode streeft naar een totale geschatte fout van maximaal 1e-9 maal de absolute grootte van het resultaat (of 1e-9 voor resultaten kleiner dan 1). Ze vergelijkt minstens twee detailniveaus, houdt rekening met afrondingsfouten en verfijnt eerst het deel met de grootste geschatte fout.
• Ze stopt na 2.048 verfijningen, 20 onderverdelingsniveaus of de 100.000 stappen die met andere geavanceerde wiskunde op dezelfde regel worden gedeeld. Een bereikte limiet of een ongedefinieerde bemonsterde waarde geeft een fout.
• De foutschatting is een goede indicatie, geen garantie. Gebruik gladde, eindige uitdrukkingen. Resultaten voor uitdrukkingen met pieken, sprongen of snelle oscillaties kunnen onnauwkeurig zijn.
• Onbepaalde integralen en oneindige grenzen worden niet ondersteund.

calcKopiëren

integrate(x^2, x, 0, 3) geeft 9

integrate(x^2, x, 3, 0) geeft -9

Argumenten en eenheden in wiskundige functies

• factorial is een andere naam voor fact, en trunc voor int.
• sign geeft -1, 0 of 1 terug. atan2(y, x) geeft een hoek in radialen als gewoon getal.
• Het optionele tweede argument van round, floor en ceil is een stapgrootte, geen aantal decimalen: round(17, 5) rondt af op het dichtstbijzijnde veelvoud van 5. Zie Afronden om op decimalen af te ronden.
• Logaritmen, exponentiële en hyperbolische functies accepteren geen eenheden of geld. Gewone goniometrische functies accepteren hoeken zoals 30°.
• Vierkants- en derdemachtswortels behouden eenheden als de eenheidsmacht deelbaar is door de wortelgraad; machten van grootheden behouden hun eenheden. Temperaturen in Celsius of Fahrenheit kun je niet kwadrateren of worteltrekken.

calcKopiëren

gcd(12, 18) geeft 6

round(17, 5) geeft 15

sin(30°) geeft 0.5

sqrt(9 m²) geeft 3 m

(2 kg)^2 geeft 4 kg²

Limieten

Limieten worden gecontroleerd voordat een resultaat verschijnt:

• 1.024 elementen in een lijst of range
• matrices tot 32 × 32
• 10.000 termen in één sum of product
• 16 niveaus van geneste lijsten en functieaanroepen
• 100.000 stappen voor alle geavanceerde wiskunde op één regel samen, inclusief geneste aanroepen
• 4.096 bits in de teller of noemer van een breuk, net als elders in Varlig Calc

Als je een limiet bereikt, toont die regel een fout en blijft de rest van de notitie werken. Je krijgt nooit een gedeeltelijke som, een onvoltooide inverse of een niet-geconvergeerde wortel als resultaat. Zie Resultaten lezen: weergave en precisie voor alle limieten en de exactheid van resultaten.