高等数学：功能与限制

本页概述 Varlig Calc 中的高等数学功能：列表、向量与矩阵、复数、求和与求积、解方程以及微积分。对于每项功能，本页列出函数的作用、接受哪些参数、结果有多精确，以及限制在哪里。当结果让你感到意外时，可以在这里核对细节。

有关包含更多示例的入门介绍，请参阅以下指南：列表与统计、向量与矩阵、复数和求和、解方程与微积分。

概览

列表、矩阵和复数都是普通的值。你可以给它们命名，把它们传给自定义函数；编辑前面的行时，它们也会重新计算。

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平方和(n) = sum(k^2, k, 1, n)

平方和(3) 结果为 14

首项(列表) = 列表[0]

首项([10, 20]) 结果为 10

求根(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

求根(9) 结果为 3

引擎作出的保证

本页所讲的一切背后只有一条规则：一次计算要么给出 Varlig 能够担保的答案，要么显示一条说明缘由的错误。它绝不会从精确计算退而求其次，给出一个看上去合理的数字。

答案有多精确

精确就是精确：从读入这一行到显示答案，中间没有任何舍入，所以一个精确的答案在被命名、存储和再次使用之后依然精确。近似的答案与 sqrt 返回的结果一样，是有界的十进制数。它并不保证在显示的最后一位上正确舍入，所以用 == 比较两个近似结果并不是可靠的检验 —— solve(x^2 - 2 = 0) 和 sqrt(2) 都显示为 1.4142135624，却并不相等。

同一个答案绝不会把两者混在一起。判别式不是完全平方数的二次方程，它的两个根都是近似值。

单位

把带单位的量和不带单位的值混在一起会报错，而不会悄悄按裸数字来读取；只有一个由来已久的例外：裸写的 0 会按其他值的单位计入。

哪些会被拒绝

下面这些都不会给出数字或一句话。每一种都是一条错误，说明它做不到什么，并在有替代写法时给出应当改写的形式：

• 次数高于 2 的多项式方程、非多项式方程、位于除数或指数上的未知数、两个都没有取值的名称、没有未知数的方程，或者带有单位或金额的方程。每一种都指向四参数的数值 solve。
• 没有实根的方程 —— 而不是给出复数根；以及任何取值都成立的方程 —— 而不是从中挑一个。
• 维度不匹配或非方阵的矩阵运算、奇异矩阵求逆，或者不是普通数字的元素。
• 没有任何值重复或几个值并列时的 mode、超出 0 到 100 的百分位数、超出 0 到 4 的四分位数，以及对空列表调用除 sum、product 和 count 以外的任何统计量。

以下功能按设计不予支持：超出收集多项式系数范围的符号变形、非线性方程组、实系数方程的复数根、由单位或金额构成的矩阵、不定积分，以及绘图。

这些信息本身列在错误、诊断与限制中。

书写列表和数学函数

• 逗号用于分隔项和参数。 逗号后面跟空格时总是用于分隔，逗号后面紧跟三位数字时则用于千位分组，所以 [1,200, 1,800] 包含两项。不加空格时，每个逗号都会分隔，例如 [12,-51,4]。如果逗号两种读法都说得通，例如 [1,234]，错误信息会列出两种写法。表示小数时请使用小数点。
• 矩阵是由行组成的列表，例如 [[1,2],[3,4]]。不支持 [1,2;3,4] 这样的分号简写。
• 索引从 0 开始，必须是 0 或更大的整数。超出列表末尾的索引会报错；它绝不会回绕，也不会被截断以适应列表长度。
• 参数个数会被检查。 sqrt(4,9) 会报错，而不是去猜测你的意图。

列表与统计

以下函数接受列表：length 或 count、sum、product、average 或 mean、median、min、max、mode 和 modes、percentile 和 quartile，以及离散程度函数 variance、sample_variance、population_variance、stddev、sample_stddev 和 population_stddev。

• 只有当某一个值严格地出现得最多时，mode 才会给出答案；几个值并列，以及没有任何值重复出现，都会报错，并在信息中点出 modes、median 或 average。modes 会返回出现最多的所有值。
• percentile(list, rank) 接受一个 0 到 100 之间的名次，并在最接近的两个名次之间做线性插值，采用的是包含式定义：第 50 百分位数就是中位数，第 0 和第 100 百分位数是最小值和最大值。quartile(list, k) 接受 0 到 4 之间的整数 k，等同于 percentile(list, 25k)。
• variance 和 stddev 是样本形式，除以 n - 1，需要两个值。population_variance 和 population_stddev 除以 n，只需要一个值。sample_variance 和 sample_stddev 是这两个短名称的长名称。
• 空列表的 sum 为 0，product 为 1，count 为 0。空列表的其他统计量会报错。
• 长度相同的两个列表可以逐项相加和相减。你可以将列表乘以或除以一个数字，也可以用 == 比较两个列表。
• range(start, end, step) 包含两端。步长可以省略。
• dot(a, b) 计算两个实数向量的点积。

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支出 = [420, 385, 510, 460] 结果为 [420, 385, 510, 460]

sum(支出) 结果为 1,775

average(支出) 结果为 443.75

median(支出) 结果为 440

支出[0] 结果为 420

支出 * 1.1 结果为 [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) 结果为 [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

列表变换

• slice 需要满足 0 ≤ start ≤ end ≤ 列表长度的整数。其他边界会报错。
• variance 至少需要两个不带单位的数字。
• map 和 filter 依次接受表达式、代表每一项的名称以及列表。该名称只在调用内部有效，因此不会改变你在别处定义的同名名称。filter 中的表达式必须得出 true 或 false。

向量与矩阵

向量是一维列表，矩阵是由行组成的列表。矩阵必须是矩形的，只包含不带单位的实数，并且行数和列数都在 1 到 32 之间。

精确结果。 det、inverse、rank 和 solve_system 使用精确分数。rank 没有舍入容差。solve_system 遇到奇异方程组时会报错，并且不处理非线性方程组或有无穷多解的方程组。

近似结果。 eigenvalues、qr、lu 和 svd 使用浮点数，并会检查输出是否为有限值。qr 和 svd 接受矩形矩阵，并返回紧凑（“瘦”）分解因子。特征值和 SVD 计算在 10,000 次迭代后停止。在显示的结果中，相对于最大元素只是舍入误差的元素会显示为 0，而通过索引取出它时返回的是存储的值。病态矩阵可能会损失精度，因此不要用 == 检验这些结果。

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# 两张成人票加一张儿童票共 34；一张成人票加两张儿童票共 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) 结果为 [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) 结果为 3

rank([[1,2],[2,4]]) 结果为 1

复数

i 是虚数单位，除非你定义了名为 i 的名称或自定义单位。

• 函数：complex(real, imaginary)、real、imag、conj、abs、arg（以弧度表示）和 sqrt（主平方根）都接受复数。
• 精确性：实部与虚部、算术运算和整数次幂都保持精确。一般的开方和 arg 是近似的。
• 实数结果：当虚部相互抵消时，例如 (2+3i) * (2-3i)，结果是普通实数。你以复数形式写出的值，例如 -4 + 0i 或 complex(-4,0)，经过运算和赋值给名称后仍然是复数，即使它显示为 -4。
• 负数的平方根和对数：sqrt(-4)、ln(-1) 和 log(-100) 会保持在实数范围内，并显示虚数错误，错误信息会写出应改用的复数形式，例如 sqrt(-4 + 0i)。这样写，或者写成 sqrt(complex(-4,0))，都会得到 2i。
• 显示：只是浮点舍入误差的部分会显示为 0，因此 exp(i*pi) 显示为 -1。存储的值仍保留其数字。
• 比较：只有当两个数的虚部都为零时，< 和 > 才有效。
• 其他函数：sin、cos、tan 及其反函数，双曲函数及其反函数，exp、ln、log 或 log10、log2、cbrt，以及分数次幂或复数次幂，都接受复数。它们使用浮点数和主值分支。零的对数以及任何非有限的结果都会报错。

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(2+3i) * (2-3i) 结果为 13

abs(3+4i) 结果为 5

sqrt(-4 + 0i) 结果为 2i

sqrt(complex(-4,0)) 结果为 2i

sqrt(-4) 结果为 Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) 结果为 -1

求和与求积

sum(expression, name, from, to) 对从 from 到 to（包含两端）的每个整数计算表达式，并把结果相加。summation 是它的另一个名称，product 则改为相乘。

• 该名称只在调用内部有效。它不会改变你已经定义的同名名称，也不会让该行依赖于那个名称。
• 求和或求积可以相互嵌套。
• 如果 to 小于 from，范围为空：和为 0，积为 1。
• 单次调用最多可以有 10,000 项。

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sum(k^2, k, 1, 10) 结果为 385

product(k, k, 1, 5) 结果为 120

k = 7 结果为 7

sum(k, k, 1, 3) 结果为 6

k 结果为 7

解方程

solve(equation) 读取一个含单个未知数、次数为 1 或 2 的多项式方程，并求出它的根。未知数就是方程中唯一没有取值的那个名称；有取值的名称会按它的数值来读取，等号右边也可以省略，这时表达式会被置为零。

• 一次方程的答案是那个数。二次方程的答案是它互不相同的实根按升序排列而成的列表，所以重根就是只有一个元素的列表。答案的形态取决于写下的次数，而不是找到了几个根。
• 系数及其变形都是精确的；判别式为完全平方数时，根也是精确的。其余的二次方程会给出两个十进制的平方根近似值。
• 两边都必须是普通数字。带单位的量、金额和复数都会被拒绝。
• 没有实根的方程会给出 Error: no real solution，而不是复数根；任何取值都成立的方程会如实说明，而不会挑出某个值。
• 其余情况 —— 次数在 3 及以上、非多项式方程、位于除数或指数上的未知数、第二个没有取值的名称 —— 都会被拒绝，信息中会点出下面那个四参数的形式。

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solve(2x + 6 = 10) 结果为 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) 结果为 [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) 结果为 [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) 结果为 Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) 是另一个函数：它在 lower 和 upper 之间，找出使表达式为零的一个 name 实数值。solve(left = right, name, lower, upper) 找出使两边相等的值。

• 边界必须是有限的数，并且 lower 小于 upper。
• 恰好位于边界上的根也会被接受。否则，表达式必须在一个边界处为正、在另一个边界处为负，并且在两者之间应当连续。
• 搜索每一步都会把区间减半。当表达式与零的差不超过 1e-10，并且区间足够窄时，搜索即告成功，这必须在 128 步之内完成。如果表达式在某个检查点上无定义，或者搜索无法收敛，该行会显示错误。
• 它只找出一个根，而不是所有根。要求解线性方程组，请使用 solve_system。

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solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) 结果为 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) 结果为 1.4142135624

微积分

符号求导

differentiate(expression, name)（也可写作 derivative(expression, name)）以文本形式返回导数。

• 它对不带单位的实数运算使用求导的加法、乘法、除法、幂和链式法则，并支持 sin、cos、tan、sinh、cosh、exp、ln 和 sqrt。
• 表达式中的其他名称都被视为常数，无论它们在笔记中是否有值：differentiate(a*x^2, x) 得到 (a*(2*(x^(2-1))))。
• 结果不会被化简，并且最多 8,192 个字符。
• 其他函数（例如 abs）会报错；对于这些函数，请改用某点处的导数。这并不是一个完整的计算机代数系统。
• 导数的定义域限制与原表达式相同。

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differentiate(sin(x), x) 结果为 cos(x)

differentiate(x^3, x) 结果为 (3*(x^(3-1)))

某点处的导数

derivative(expression, name, point)，或带三个参数的 differentiate，会以数值方式计算某一点处的斜率。它使用逐步细化的中心差分，并用单侧估计加以核对。表达式可以使用你定义的函数，但在该点附近必须是光滑的，并且只使用不带单位的实数。如果估计值无法收敛，或者某个采样点无定义，该行会显示错误。

由于数值形式要计算出一个数，除变量以外的每个名称都需要有值。这适用于某点处的导数、sum、product、solve 和 integrate；没有值的名称会显示 Unsupported: Unknown name:，后面跟着该名称。

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derivative(x^3, x, 2) 结果为 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) 结果为 6

differentiate(a*x^2, x) 结果为 (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) 结果为 Unsupported: Unknown name: a

定积分

integrate(expression, name, lower, upper) 计算表达式在两个有限边界之间的曲线下面积。

• 交换边界会改变结果的符号，边界相等时结果为零。
• 它使用自适应的 7 点和 15 点高斯-克朗罗德（Gauss–Kronrod）求积规则，在不均匀分布的点上采样。这样，cos(128*pi*x) 这种规则的波形就不会让它出错：integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) 的结果约为 -1.3e-15，在舍入误差范围内即为零。
• 它的目标是让总误差估计不超过结果大小的 1e-9 倍（对于小于 1 的结果，则不超过 1e-9）。它至少比较两个精细程度的计算，考虑舍入误差，并优先细化估计误差最大的部分。
• 当达到 2,048 次细化、20 层细分，或与该行中其他高等数学运算共享的 100,000 步时，它会停止。达到限制或遇到无定义的采样点都会报错。
• 误差估计是很好的参考，但并不是保证。请使用光滑、有限的表达式。对于含有尖峰、跳变或快速振荡的表达式，结果可能不准确。
• 不支持不定积分和无穷边界。

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integrate(x^2, x, 0, 3) 结果为 9

integrate(x^2, x, 3, 0) 结果为 -9

数学函数的参数与单位

• factorial 是 fact 的另一个名称，trunc 是 int 的另一个名称。
• sign 返回 -1、0 或 1。atan2(y, x) 以普通数字返回以弧度表示的角度。
• round、floor 和 ceil 的可选第二个参数是步长，而不是小数位数：round(17, 5) 会舍入到最接近的 5 的倍数。要舍入到指定的小数位，请参阅舍入。
• 对数、指数和双曲函数不接受单位或金额。普通三角函数接受 30° 这样的角度。
• 当单位的幂次能被整除时，平方根和立方根会保留单位；带单位的量求幂时也会保留单位。摄氏度或华氏度的温度不能平方或开方。

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gcd(12, 18) 结果为 6

round(17, 5) 结果为 15

sin(30°) 结果为 0.5

sqrt(9 m²) 结果为 3 m

(2 kg)^2 结果为 4 kg²

限制

在显示结果之前，会检查以下限制：

• 列表或 range 中最多 1,024 项
• 矩阵最大 32 × 32
• 单个 sum 或 product 最多 10,000 项
• 嵌套列表和函数调用最多 16 层
• 一行中所有高等数学运算（包括嵌套调用）共享 100,000 步
• 分数的分子或分母最多 4,096 比特，与 Varlig Calc 的其他部分相同

达到限制时，该行会显示错误，笔记的其余部分照常工作。部分求和、逆矩阵或未收敛的根绝不会被当作答案显示。有关所有限制以及结果有多精确，请参阅解读结果：显示与精度。