고급 수학: 기능과 한계

이 페이지에서는 Varlig Calc의 고급 수학 기능인 목록, 벡터와 행렬, 복소수, 합과 곱, 방정식 풀이, 미적분을 요약해요. 기능마다 함수가 하는 일, 받는 값, 결과의 정확도, 한계를 정리했어요. 결과가 예상과 다를 때 세부 사항을 확인하는 데 활용하세요.

더 많은 예와 함께 차근차근 알아보려면 다음 가이드를 참고하세요: 목록과 통계, 벡터와 행렬, 복소수, 합, 방정식 풀이, 미적분.

한눈에 보기

목록, 행렬, 복소수는 일반 값과 같아요. 이름을 붙이거나 직접 정의한 함수에 넘길 수 있고, 앞줄을 수정하면 다시 계산돼요.

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제곱합(n) = sum(k^2, k, 1, n)

제곱합(3) 결과 14

첫째(항목) = 항목[0]

첫째([10, 20]) 결과 10

근(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

근(9) 결과 3

엔진이 보장하는 것

이 페이지에 있는 모든 것의 바탕에는 규칙 하나가 있어요. 계산에는 Varlig가 책임질 수 있는 답이 있거나, 아니면 왜 안 되는지 밝히는 오류가 표시돼요. 정확한 계산을 그럴듯해 보이는 숫자로 대신하는 일은 없어요.

답이 얼마나 정확한가

정확하다는 말은 말 그대로예요. 줄을 읽은 뒤 답을 표시할 때까지 아무것도 반올림하지 않으므로, 정확한 답은 이름을 붙이고 저장했다가 다시 써도 그대로예요. 근삿값은 sqrt가 돌려주는 것과 같은, 자릿수가 정해진 소수예요. 마지막으로 표시된 자리까지 올바르게 반올림된 값은 아니라서 근삿값 둘을 ==로 비교하는 것은 믿을 만한 검사가 아니에요. solve(x^2 - 2 = 0)과 sqrt(2)는 둘 다 1.4142135624로 표시되지만 같지 않아요.

한 답 안에서 두 방식이 섞이는 일은 없어요. 판별식이 완전제곱수가 아닌 이차방정식은 두 근 모두 근삿값이에요.

단위

단위가 있는 값과 없는 값을 섞으면 숫자만 조용히 읽지 않고 오류가 나요. 오래된 예외가 하나 있는데, 홀로 쓴 0은 나머지 값의 단위로 세요.

무엇이 거절되나

아래의 어느 것도 숫자나 문장으로 답하지 않아요. 저마다 무엇을 할 수 없는지 밝히고, 대신 쓸 수 있는 형식이 있다면 그것까지 알려 주는 오류예요.

• 차수가 2를 넘는 다항 방정식, 다항식이 아닌 방정식, 나누는 쪽이나 지수 자리에 있는 미지수, 둘 다 값이 없는 이름 두 개, 미지수가 없는 방정식, 단위나 금액이 들어 있는 방정식. 모두 인수 네 개짜리 수치 solve를 가리켜요.
• 실근이 없는 방정식은 복소수 근 대신, 모든 값이 성립시키는 방정식은 그중 하나 대신 그 사실을 알려 줘요.
• 크기가 맞지 않거나 정사각이 아닌 행렬 연산, 특이 행렬의 역행렬, 일반 숫자가 아닌 원소.
• 반복되는 값이 없거나 여러 값이 같은 횟수로 나오는 목록의 mode, 0에서 100을 벗어난 백분위수, 0에서 4를 벗어난 사분위수, 그리고 빈 목록에 대한 sum, product, count 이외의 모든 통계.

설계상 어디에서도 지원하지 않는 것: 다항식의 계수를 모으는 수준을 넘어서는 기호 식 정리, 연립 비선형 방정식, 실수 방정식의 복소수 근, 단위나 금액으로 이루어진 행렬, 기호 적분, 그래프 그리기.

메시지 자체는 오류, 진단, 한계에 정리되어 있어요.

목록과 수학 함수 쓰는 방법

• 항목과 인수는 쉼표로 구분해요. 쉼표 뒤에 공백이 오면 항상 값을 구분하고, 쉼표 뒤에 정확히 세 자리 숫자가 오면 천 단위를 구분하므로 [1,200, 1,800]은 항목이 두 개예요. 공백이 없으면 [12,-51,4]처럼 쉼표마다 값이 나뉘어요. [1,234]처럼 쉼표를 두 가지로 읽을 수 있으면 오류 메시지가 두 가지 쓰는 방법을 모두 보여 줘요. 소수는 소수점으로 쓰세요.
• 행렬은 행의 목록이에요. 예를 들어 [[1,2],[3,4]]처럼 써요. [1,2;3,4] 같은 세미콜론 약식은 없어요.
• 인덱스는 0부터 시작하며 0 이상의 정수여야 해요. 목록 끝을 넘어서는 인덱스는 오류이며, 처음으로 되돌아가거나 범위에 맞게 잘리지 않아요.
• 인수의 개수를 확인해요. sqrt(4,9)는 추측하지 않고 오류를 표시해요.

목록과 통계

다음 함수는 목록을 받아요: length 또는 count, sum, product, average 또는 mean, median, min, max, mode와 modes, percentile과 quartile, 그리고 퍼짐 정도를 구하는 variance, sample_variance, population_variance, stddev, sample_stddev, population_stddev.

• mode는 한 값이 분명하게 가장 흔할 때만 답해요. 여러 값이 같은 횟수로 나오는 경우와 반복되는 값이 없는 목록은 모두 오류이며, 메시지가 modes, median, average를 알려 줘요. modes는 가장 많이 나온 값 전부를 돌려줘요.
• percentile(list, rank)은 0부터 100까지의 순위를 받아 가장 가까운 두 순위 사이를 선형으로 보간해요. 양 끝을 포함하는 정의라서 50번째 백분위수는 중앙값이고, 0번째와 100번째는 가장 작은 값과 가장 큰 값이에요. quartile(list, k)은 0부터 4까지의 정수 k를 받으며 percentile(list, 25k)와 같아요.
• variance와 stddev는 표본 형식이라서 n - 1로 나누고 값이 두 개 있어야 해요. population_variance와 population_stddev는 n으로 나누고 값이 하나만 있으면 돼요. sample_variance와 sample_stddev는 짧은 이름들의 긴 이름이에요.
• 빈 목록의 sum은 0, product는 1, count는 0이에요. 빈 목록의 다른 통계는 오류예요.
• 길이가 같은 두 목록은 항목끼리 더하고 뺄 수 있어요. 목록에 숫자를 곱하거나 목록을 숫자로 나눌 수 있고, 두 목록을 ==로 비교할 수도 있어요.
• range(start, end, step)은 양 끝을 포함해요. step은 생략할 수 있어요.
• dot(a, b)는 두 실수 벡터를 곱해요.

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지출 = [420, 385, 510, 460] 결과 [420, 385, 510, 460]

sum(지출) 결과 1,775

average(지출) 결과 443.75

median(지출) 결과 440

지출[0] 결과 420

지출 * 1.1 결과 [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) 결과 [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

목록 변환

• slice에는 0 ≤ start ≤ end ≤ 목록 길이를 만족하는 정수가 필요해요. 그 밖의 경계는 오류예요.
• variance에는 단위 없는 숫자가 두 개 이상 필요해요.
• map과 filter는 식을 먼저 받고, 그다음 각 항목에 쓸 이름, 마지막으로 목록을 받아요. 이 이름은 호출 안에서만 적용되므로 다른 곳에서 정의한 이름을 바꾸지 않아요. filter의 식은 true나 false를 내야 해요.

벡터와 행렬

벡터는 평평한 목록이고 행렬은 행의 목록이에요. 행렬은 직사각형 모양이어야 하고, 단위 없는 실수로 이루어져야 하며, 행과 열이 각각 1개부터 32개까지여야 해요.

정확한 결과. det, inverse, rank, solve_system은 정확한 분수를 사용해요. rank에는 반올림 허용 오차가 없어요. solve_system은 특이한 연립 방정식에 대해 오류를 알리며, 비선형 연립 방정식이나 해가 무수히 많은 연립 방정식은 처리하지 않아요.

근사 결과. eigenvalues, qr, lu, svd는 부동소수점을 사용하며, 출력이 유한한 값인지 확인해요. qr과 svd는 직사각 행렬을 받으며 축소형("thin") 인수를 반환해요. 고윳값과 SVD 계산은 10,000번 반복한 뒤 멈춰요. 표시되는 결과에서 가장 큰 성분에 비해 반올림 오차에 불과한 성분은 0으로 표시되지만, 인덱스로 접근하면 저장된 값이 반환돼요. 조건이 나쁜 행렬은 정확도가 떨어질 수 있으므로, 이런 결과는 ==로 검사하지 마세요.

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# 성인 2명과 어린이 1명의 입장권은 34, 성인 1명과 어린이 2명은 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) 결과 [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) 결과 3

rank([[1,2],[2,4]]) 결과 1

복소수

i라는 이름이나 사용자 정의 단위를 따로 정의하지 않았다면 i는 허수 단위예요.

• 함수: complex(real, imaginary), real, imag, conj, abs, arg(라디안), sqrt(주근)는 모두 복소수를 받아요.
• 정확도: 실수부와 허수부, 산술, 정수 거듭제곱은 정확하게 유지돼요. 일반적인 거듭제곱근과 arg는 근삿값이에요.
• 실수 결과: (2+3i) * (2-3i)처럼 허수부가 상쇄되면 결과는 일반 실수가 돼요. -4 + 0i나 complex(-4,0)처럼 복소수로 쓴 값은 -4로 표시되더라도 산술과 이름을 거치는 동안 복소수로 유지돼요.
• 음수의 제곱근과 로그: sqrt(-4), ln(-1), log(-100)은 실수 범위에 머무르며, 대신 써야 할 복소수 형태(예: sqrt(-4 + 0i))를 알려 주는 허수 오류를 표시해요. 그 형태나 sqrt(complex(-4,0))을 쓰면 2i가 나와요.
• 표시: 부동소수점 반올림 오차에 불과한 부분은 0으로 표시되므로 exp(i*pi)는 -1로 표시돼요. 저장된 값에는 그 자릿수가 남아 있어요.
• 비교: <와 >는 두 값의 허수부가 모두 0일 때만 작동해요.
• 그 밖의 함수: sin, cos, tan과 그 역함수, 쌍곡선 함수와 그 역함수, exp, ln, log 또는 log10, log2, cbrt, 그리고 분수 거듭제곱이나 복소수 거듭제곱은 모두 복소수를 받아요. 이들은 부동소수점과 주가지를 사용해요. 0의 로그와 유한하지 않은 모든 결과는 오류예요.

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(2+3i) * (2-3i) 결과 13

abs(3+4i) 결과 5

sqrt(-4 + 0i) 결과 2i

sqrt(complex(-4,0)) 결과 2i

sqrt(-4) 결과 Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) 결과 -1

합과 곱

sum(expression, name, from, to)는 from부터 to까지(양 끝 포함)의 각 정수에 대해 식을 계산해 모두 더해요. summation은 같은 함수의 다른 이름이고, product는 더하는 대신 곱해요.

• 이름은 호출 안에서만 쓰여요. 이미 정의한 이름을 바꾸지 않고, 그 줄이 그 이름에 의존하게 만들지도 않아요.
• 합이나 곱 안에 다른 합이나 곱을 넣을 수 있어요.
• to가 from보다 작으면 범위가 비어 있으므로 합은 0, 곱은 1이에요.
• 한 번의 호출에는 항이 최대 10,000개까지 들어갈 수 있어요.

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sum(k^2, k, 1, 10) 결과 385

product(k, k, 1, 5) 결과 120

k = 7 결과 7

sum(k, k, 1, 3) 결과 6

k 결과 7

방정식 풀이

solve(equation)은 미지수가 하나인 차수 1 또는 2의 다항 방정식을 읽고 그 근을 구해요. 미지수는 방정식 안에서 값을 갖지 않은 유일한 이름이에요. 값이 있는 이름은 그 값으로 읽고, 오른쪽 변은 생략할 수 있으며 그때는 식을 0으로 놓아요.

• 일차방정식은 숫자 하나로 답해요. 이차방정식은 서로 다른 실근을 오름차순으로 담은 목록으로 답하므로 중근은 원소가 하나인 목록이에요. 답의 모양은 찾은 근이 아니라 쓴 방정식의 차수를 따라가요.
• 계수와 그 정리 과정은 정확하고, 판별식이 완전제곱수일 때는 근도 정확해요. 그 밖의 이차방정식은 소수로 된 제곱근 두 개를 돌려줘요.
• 양변 모두 일반 숫자여야 해요. 단위, 금액, 복소수는 거절돼요.
• 실근이 없는 방정식은 복소수 근 대신 Error: no real solution을 표시하고, 모든 값이 성립시키는 방정식은 값 하나를 고르는 대신 그렇다고 알려 줘요.
• 그 밖의 경우 — 차수 3 이상, 다항식이 아닌 방정식, 나누는 쪽이나 지수 자리에 있는 미지수, 값이 없는 두 번째 이름 — 는 아래의 인수 네 개짜리 형식을 알려 주는 메시지와 함께 거절돼요.

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solve(2x + 6 = 10) 결과 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) 결과 [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) 결과 [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) 결과 Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper)는 다른 함수예요. lower와 upper 사이에서 식이 0이 되는 name의 실숫값 하나를 찾아요. solve(left = right, name, lower, upper)는 양변이 같아지는 지점을 찾아요.

• 경계는 유한한 숫자여야 하고, lower가 upper보다 작아야 해요.
• 경계에 정확히 있는 근은 인정돼요. 그렇지 않다면 식이 한쪽 경계에서는 양수, 다른 쪽 경계에서는 음수여야 하고, 그 사이에서 연속이어야 해요.
• 탐색은 단계마다 구간을 절반으로 줄여요. 128단계 안에 식의 값이 0과 1e-10 이내로 가까워지고 구간이 충분히 좁아지면 성공해요. 확인하는 지점 중 식이 정의되지 않는 곳이 있거나 탐색이 수렴하지 않으면 그 줄에 오류가 표시돼요.
• 모든 근이 아니라 근 하나만 찾아요. 연립 일차 방정식에는 solve_system을 사용하세요.

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solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) 결과 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) 결과 1.4142135624

미적분

기호 미분

differentiate(expression, name)(derivative(expression, name)로도 쓸 수 있음)은 도함수를 텍스트로 반환해요.

• 단위 없는 실수 산술에 대해 합, 곱, 몫, 거듭제곱, 연쇄 법칙을 사용하며, sin, cos, tan, sinh, cosh, exp, ln, sqrt도 처리해요.
• 식 안의 다른 이름은 메모에 값이 있든 없든 상수로 취급해요. differentiate(a*x^2, x)는 (a*(2*(x^(2-1))))을 줘요.
• 결과는 간단히 정리되지 않으며, 최대 8,192자로 제한돼요.
• abs 같은 다른 함수는 오류예요. 그런 함수에는 한 점에서의 미분값을 사용하세요. 이 기능은 완전한 컴퓨터 대수 시스템이 아니에요.
• 도함수에는 원래 식과 같은 정의역 제한이 적용돼요.

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differentiate(sin(x), x) 결과 cos(x)

differentiate(x^3, x) 결과 (3*(x^(3-1)))

한 점에서의 미분값

derivative(expression, name, point) 또는 인수가 세 개인 differentiate는 한 점에서의 기울기를 수치적으로 계산해요. 정밀화된 중심 차분을 사용하고, 그 결과를 한쪽 방향 추정값과 비교해 확인해요. 식에는 직접 정의한 함수를 쓸 수 있지만, 그 점 근처에서 매끄러워야 하고 단위 없는 실수를 사용해야 해요. 추정값이 수렴하지 않거나 표본값이 정의되지 않으면 그 줄에 오류가 표시돼요.

수치 계산 형태는 숫자를 구하므로, 변수를 제외한 모든 이름에 값이 있어야 해요. 한 점에서의 미분값, sum, product, solve, integrate에 해당하며, 값이 없는 이름이 있으면 Unsupported: Unknown name: 뒤에 그 이름이 표시돼요.

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derivative(x^3, x, 2) 결과 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) 결과 6

differentiate(a*x^2, x) 결과 (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) 결과 Unsupported: Unknown name: a

정적분

integrate(expression, name, lower, upper)는 유한한 두 경계 사이에서 식 아래의 넓이를 계산해요.

• 경계를 맞바꾸면 결과의 부호가 바뀌고, 두 경계가 같으면 0이에요.
• 적응형 7점 및 15점 가우스-크론로드 규칙을 사용해 고르지 않은 간격의 점에서 표본을 추출해요. 그래서 cos(128*pi*x) 같은 규칙적인 파동에 속지 않아요. integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1)은 약 -1.3e-15를 주는데, 반올림 오차 범위에서 0이에요.
• 전체 오차 추정값이 결과 크기의 1e-9배 이하(결과가 1보다 작으면 1e-9 이하)가 되도록 해요. 최소 두 단계의 세밀도를 비교하고, 반올림 오차를 감안하며, 추정 오차가 가장 큰 부분부터 정밀화해요.
• 정밀화 2,048회, 분할 20단계, 또는 그 줄의 다른 고급 수학 연산과 함께 쓰는 100,000단계에 도달하면 멈춰요. 한계에 도달하거나 표본값이 정의되지 않으면 오류예요.
• 오차 추정값은 좋은 지침이지만 보장은 아니에요. 매끄럽고 유한한 식을 사용하세요. 뾰족한 봉우리, 불연속점, 빠른 진동이 있는 식은 결과가 부정확할 수 있어요.
• 부정적분과 무한 경계는 지원하지 않아요.

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integrate(x^2, x, 0, 3) 결과 9

integrate(x^2, x, 3, 0) 결과 -9

수학 함수의 인수와 단위

• factorial은 fact의 다른 이름이고, trunc는 int의 다른 이름이에요.
• sign은 -1, 0 또는 1을 반환해요. atan2(y, x)는 라디안 각도를 단위 없는 숫자로 반환해요.
• round, floor, ceil의 선택적 두 번째 인수는 소수 자릿수가 아니라 단위(step)예요. round(17, 5)는 가장 가까운 5의 배수로 반올림해요. 소수 자릿수로 반올림하는 방법은 반올림을 참고하세요.
• 로그, 지수 함수, 쌍곡선 함수에는 단위나 금액을 쓸 수 없어요. 일반 삼각 함수는 30° 같은 각도를 받아요.
• 제곱근과 세제곱근은 지수가 나누어떨어지면 단위를 유지하고, 수량의 거듭제곱도 단위를 유지해요. 섭씨나 화씨 온도는 제곱하거나 근을 구할 수 없어요.

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gcd(12, 18) 결과 6

round(17, 5) 결과 15

sin(30°) 결과 0.5

sqrt(9 m²) 결과 3 m

(2 kg)^2 결과 4 kg²

한계

결과를 표시하기 전에 다음 한계를 확인해요.

• 목록 또는 range의 항목 1,024개
• 최대 32 × 32 행렬
• sum 또는 product 한 번에 항 10,000개
• 중첩된 목록과 함수 호출 16단계
• 중첩된 호출을 포함해 한 줄의 모든 고급 수학 연산이 함께 쓰는 100,000단계
• 분수의 분자 또는 분모 4,096비트(Varlig Calc의 다른 부분과 같음)

한계에 도달하면 그 줄에 오류가 표시되고, 메모의 나머지 부분은 계속 작동해요. 부분적인 합, 역행렬, 수렴하지 않은 근이 답으로 표시되는 일은 없어요. 모든 한계와 결과의 정확도는 결과 읽기: 표시와 정밀도를 참고하세요.