向量与矩阵

向量是一个平面的数字列表，比如空间中的一个方向或一组数量。矩阵是由行组成的列表。本页介绍点积与叉积、矩阵乘法、行列式与逆矩阵、一次求解多个线性方程，以及线性代数的数值工具：特征值，以及 QR、LU 和奇异值分解。

线性代数课程作业、几何与变换，或者任何由直线方程联系起来的多个未知数问题，都可以参考本页。向量和矩阵就是普通的列表，所以列表与统计中的所有内容（如按索引取值）同样适用。

向量

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dot([1, 2, 3], [4, 5, 6]) 结果为 32

dot([3, 4], [4, -3]) 结果为 0

cross([1, 0, 0], [0, 1, 0]) 结果为 [0, 0, 1]

cross([1, 2, 3], [4, 5, 6]) 结果为 [-3, 6, -3]

v = [3, 4]

sqrt(dot(v, v)) 结果为 5

dot 把对应位置的元素相乘，再把结果相加。点积为零表示两个向量互相垂直，[3, 4] 和 [4, -3] 就是这样。cross 给出一个同时垂直于两个输入向量的向量：x 方向叉乘 y 方向得到 z 方向。向量的长度是它与自身点积的平方根。

dot 需要两个长度相同的向量，cross 需要两个各含三个元素的向量。要对向量做加法或缩放，请使用普通的列表运算：[1, 2] + [3, 4] 是 [4, 6]，2 * [3, 4] 是 [6, 8]。

书写矩阵与矩阵乘法

把矩阵写成由行组成的列表，每一行放在各自的方括号里：

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shape([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) 结果为 [2, 3]

transpose([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) 结果为 [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

identity(3) 结果为 [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

[[1, 2], [3, 4]] * [[5, 6], [7, 8]] 结果为 [[19, 22], [43, 50]]

shape 给出 [行数, 列数]。transpose 交换行和列。identity(n) 是 n 行 n 列的单位矩阵，任何矩阵与它相乘都保持不变。

两个矩阵之间的 * 表示矩阵乘法，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。要用矩阵乘以向量，请把向量写成列的形式，每行一个元素：

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# 将点 (3, 1) 逆时针旋转 90°

旋转 = [[0, -1], [1, 0]]

旋转 * [[3], [1]] 结果为 [[-1], [3]]

旋转 * 旋转 结果为 [[-1, 0], [0, -1]]

旋转两次 90° 就是转半圈，所以 旋转 * 旋转 会使两个符号都翻转。矩阵右边不接受 [3, 1] 这样的平面列表。如果名称中保存的是平面列表，可以用 transpose([v]) 把它变成列。

形状相同的矩阵可以相加和相减，也可以像其他列表一样乘以或除以一个数。

所有矩阵运算都遵循以下几条规则：

• 每一行的元素个数必须相同。
• 元素必须是普通数字，不接受单位和金额。
• 矩阵最多 32 行、32 列。
• 没有分号简写。请写 [[1, 2], [3, 4]]，而不是 [1, 2; 3, 4]。

行列式、逆矩阵、迹与秩

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M = [[2, 1], [5, 3]]

det(M) 结果为 1

inverse(M) 结果为 [[3, -1], [-5, 2]]

M * inverse(M) 结果为 [[1, 0], [0, 1]]

trace(M) 结果为 5

inverse([[2, 1], [1, 3]]) 结果为 [[0.6, -0.2], [-0.2, 0.4]]

det([[1, 2], [2, 4]]) 结果为 0

rank([[1, 2, 3], [2, 4, 6]]) 结果为 1

det、inverse 和 trace（对角线元素之和）需要方阵。行列式为零表示矩阵是奇异的：它的各行不是线性无关的，因此没有逆矩阵，inverse([[1, 2], [2, 4]]) 会报错。rank 计算有多少行线性无关，也接受非方阵。在最后一行中，第二行是第一行的两倍，所以秩为 1。

这四个函数使用精确分数而不是小数，所以 M * inverse(M) 得到的恰好是单位矩阵。

求解线性方程组

假设三杯咖啡和两杯茶共 £13.50，一杯咖啡和四杯茶共 £11.50。每个方程占一行，按固定的列顺序（咖啡、茶）写出每种饮品的数量，再把总价写成对应的列表：

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solve_system([[3, 2], [1, 4]], [13.5, 11.5]) 结果为 [3.1, 2.1]

结果的顺序与列的顺序相同：一杯咖啡 £3.10，一杯茶 £2.10。请省略货币符号，因为矩阵元素必须是普通数字。

solve_system(A, b) 求解 A * x = b 中的 x。它需要一个方阵（每个未知数一行），以及一个长度相同、由等号右边的值组成的平面列表。它使用精确分数，所以结果没有舍入误差。

如果这些方程无法确定唯一的解，你会看到一条错误，提示方程组没有唯一解。例如，solve_system([[1, 2], [2, 4]], [3, 6]) 会失败，因为第二个方程是第一个方程的两倍。solve_system 只能处理直线（线性）方程；对于 x^2 = 2 这样的方程，请使用求和、解方程与微积分中介绍的 solve。

特征值

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eigenvalues([[2, 1], [1, 2]]) 结果为 [1, 3]

eigenvalues([[4, 1], [2, 3]]) 结果为 [5, 2]

eigenvalues([[0, -1], [1, 0]]) 结果为 [i, -i]

eigenvalues 接受一个方阵，返回一个平面列表。90° 旋转不会让任何方向保持不变，所以它的特征值是一对复数 i 和 -i；请参阅复数。不要依赖列表中值的顺序。

矩阵分解：QR、LU 与 SVD

每种分解都返回一个矩阵列表。用索引取出各个部分：

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A = [[3, 0], [4, 5]]

因子 = qr(A)

q = 因子[0] 结果为 [[0.6, -0.8], [0.8, 0.6]]

r = 因子[1] 结果为 [[5, 4], [0, 3]]

q * r 结果为 [[3, 0], [4, 5]]

把各个因子重新相乘会再次得到 A，因此你可以一眼检查分解是否正确。二进制浮点运算会留下极小的舍入残差，约为 10⁻¹⁵，Varlig 在列表和矩阵中把它们显示为 0。存储的值保留了全部位数，所以比较分解结果时请目测或查看差值，而不要用 ==。

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lu([[2, 1], [4, 3]]) 结果为 [[[0, 1], [1, 0]], [[1, 0], [0.5, 1]], [[4, 3], [0, -0.5]]]

lu 返回 [P, L, U]，其中 P 记录了行交换，P * A 等于 L * U。这里交换了行，以便先使用较大的数 4。

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B = [[3, 1], [4, 7]]

f = svd(B)

u = f[0]

s = f[1]

vt = f[2]

u * [[s[0], 0], [0, s[1]]] * vt 结果为 [[3, 1], [4, 7]]

svd([[3, 4]]) 结果为 [[[1]], [5], [[0.6, 0.8]]]

svd 返回 [U, s, Vt]，其中 s 是由奇异值组成的平面列表，从大到小排列。教科书中写作 B 等于 U * diag(s) * Vt。没有 diag 函数，所以请自己构建对角矩阵，如 [[s[0], 0], [0, s[1]]]。

对于非方阵，qr 和 svd 返回精简形式的因子：对于 3 行 2 列的矩阵，Q 也是 3 行 2 列，而不是 3 行 3 列。

算法与限制

det、inverse、rank 和 solve_system 使用精确分数计算，但受计算器对数字大小的限制。eigenvalues、qr、lu 和 svd 使用二进制浮点运算，所以结果是非常接近的近似值。它们的迭代在 10,000 步后停止。

各行几乎线性相关的矩阵（如 [[1, 1], [1, 1.0000001]]）称为病态矩阵。用它们计算时，微小的舍入误差会被放大，因此这类矩阵的分解和特征值可能会损失精度，极端情况下还可能超出数值限制而报错。

完整规则请参阅高等数学：功能与限制参考页。

综合运用

市场摊位的三张收据列出了买了几个苹果、香蕉和橙子以及付款总额，但没有列出单价：

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# 每行：苹果、香蕉、橙子

购物篮 = [[2, 3, 1], [1, 2, 3], [4, 1, 2]]

实付 = [2.15, 2.70, 3.05]

det(购物篮) 结果为 25

单价 = solve_system(购物篮, 实付) 结果为 [0.4, 0.25, 0.6]

# 用每张收据核对单价

购物篮 * transpose([单价]) 结果为 [[2.15], [2.7], [3.05]]

# 5 个苹果、2 根香蕉和 4 个橙子要多少钱？

dot([5, 2, 4], 单价) 结果为 4.9

行列式不为零，说明这些收据足以确定唯一一组单价：苹果 40 便士，香蕉 25 便士，橙子 60 便士。把购物篮乘以写成列的单价，就能还原各张收据的总额，而 dot 算出新的一篮要 £4.90。