Matemática avançada: recursos e limites

Esta página resume a matemática avançada em Varlig Calc: listas, vetores e matrizes, números complexos, somas e produtos, resolução de equações e cálculo. Para cada recurso, ele lista o que as funções fazem, o que elas aceitam, quão exatas são as respostas e onde estão os limites. Use-o para verificar os detalhes quando uma resposta o surpreender.

Para introduções com mais exemplos, consulte os guias: Listas e estatísticas, Vetores e matrizes, Números complexos e Sumação, resolução de equações e cálculo.

De relance

Listas, matrizes e números complexos são valores comuns. Você pode dar nomes a eles, passá-los para as funções que você definir, e eles recalculam quando você editar uma linha anterior.

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squares(n) = sum(k^2, k, 1, n)

squares(3) resulta em 14

first(items) = items[0]

first([10, 20]) resulta em 10

root(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

root(9) resulta em 3

O que o motor garante

Todos os recursos desta página seguem uma regra: o cálculo produz uma resposta que o Varlig pode garantir ou mostra um erro explicando por que não consegue. Ele nunca troca silenciosamente um cálculo exato por um número apenas plausível.

Quão exata é uma resposta?

Exato significa exato: nada é arredondado entre a interpretação da linha e a exibição da resposta. Assim, uma resposta exata mantém essa propriedade ao ser nomeada, armazenada e reutilizada. Uma resposta aproximada usa a mesma representação decimal de precisão limitada retornada por sqrt. Ela não tem garantia de arredondamento correto até o último dígito exibido, então comparar dois resultados aproximados com == não é um teste confiável: solve(x^2 - 2 = 0) e sqrt(2) exibem 1.4142135624, mas não são iguais.

Uma resposta nunca mistura os dois tipos. Uma equação quadrática cujo discriminante não é um quadrado perfeito tem ambas as raízes aproximadas.

Unidades

Misturar valores que têm unidades com valores que não têm é um erro, em vez de uma leitura silenciosa dos números nus, com uma exceção de longa data: um 0 nu conta na unidade dos outros.

O que é recusado

Nenhum deles dá um valor numérico ou uma frase. Cada um é um erro que nomeia o que não pode fazer e, onde houver um, o formulário suportado para escrever em vez disso:

• Uma equação polinomial de grau superior a 2, uma equação não polinomial, a incógnita em um divisor ou expoente, dois nomes sem valor definido, uma equação sem incógnita ou uma equação com unidades ou dinheiro. Em todos esses casos, a mensagem indica o uso de solve numérico com quatro argumentos.
• Uma equação sem raiz real gera um erro, em vez de fornecer uma raiz complexa; uma equação satisfeita por todos os valores também gera um erro, em vez de escolher um deles.
• Uma operação de matriz com dimensões incompatíveis ou não quadradas, um inverso de uma matriz singular ou uma entrada que não é um número simples.
• mode quando nenhum valor se repete ou quando há empate, um percentil fora do intervalo de 0 a 100, um quartil fora do intervalo de 0 a 4 e qualquer estatística diferente de sum, product e count em uma lista vazia.

Não suportado em nenhum lugar, por design: rearranjo simbólico além da coleta de coeficientes polinomiais, sistemas não lineares simultâneos, raízes complexas de uma equação real, matrizes de unidades ou dinheiro, integração simbólica e plotagem.

As mensagens em si estão listadas em Erros, diagnósticos e limites.

Como escrever listas e funções matemáticas

• Vírgulas separam itens e argumentos. Uma vírgula seguida de um espaço sempre separa valores; uma vírgula seguida de exatamente três dígitos agrupa milhares, então [1,200, 1,800] tem dois itens. Sem espaços, cada vírgula separa, como em [12,-51,4]. Quando as duas interpretações são possíveis, como em [1,234], o erro mostra as duas formas de escrever a expressão. Use ponto decimal para a parte fracionária de um número.
• Matrizes são listas de linhas, como [[1,2],[3,4]]. Não há abreviação de ponto e vírgula como [1,2;3,4].
• Os índices começam em 0 e devem ser números inteiros não negativos. Um índice além do fim da lista gera um erro; ele nunca volta ao início nem é reduzido para caber.
• As contagens de argumentos são verificadas. sqrt(4,9) é um erro e não um palpite.

Listas e estatística

Estas funções aceitam uma lista: length ou count, sum, product, average ou mean, median, min, max, mode e modes, percentile e quartile, além das funções de dispersão variance, sample_variance, population_variance, stddev, sample_stddev e population_stddev.

• mode só retorna uma resposta quando um único valor é estritamente o mais frequente. Um empate ou uma lista sem repetições gera um erro que sugere modes, median ou average. modes retorna todos os valores de maior frequência.
• percentile(list, rank) recebe uma posição de 0 a 100 e interpola linearmente entre as duas posições mais próximas, usando a definição inclusiva: o percentil 50 é a mediana, e os percentis 0 e 100 são o menor e o maior valor. quartile(list, k) recebe um k inteiro de 0 a 4 e equivale a percentile(list, 25k).
• variance e stddev são as formas de amostra, divididas por n - 1 e precisando de dois valores. population_variance e population_stddev dividem por n e precisam de um. sample_variance e sample_stddev são nomes mais longos para os curtos.
• Uma lista vazia tem uma sum de 0, um product de 1 e uma count de 0. Outras estatísticas de uma lista vazia são erros.
• Duas listas do mesmo comprimento somam e subtraem item por item. Você pode multiplicar ou dividir uma lista por um valor numérico e comparar duas listas com ==.
• range(start, end, step) inclui os dois extremos. O incremento é opcional.
• dot(a, b) multiplica dois vetores reais.

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spend = [420, 385, 510, 460] resulta em [420, 385, 510, 460]

sum(spend) resulta em 1,775

average(spend) resulta em 443.75

median(spend) resulta em 440

spend[0] resulta em 420

spend * 1.1 resulta em [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) resulta em [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

Transformações de listas

• slice precisa de números inteiros onde 0 ≤ início ≤ fim ≤ o comprimento da lista. Outros limites são erros.
• variance precisa de pelo menos dois números sem unidades.
• map e filter pegam a expressão primeiro, depois o nome a ser usado para cada item, depois a lista. O nome só se aplica dentro da chamada, portanto, não altera um nome que você definiu em outro lugar. A expressão em filter deve dar true ou false.

Vetores e matrizes

Vetores são listas planas e matrizes são listas de linhas. As matrizes devem ser retangulares, conter números reais sem unidades e ter de 1 a 32 linhas e colunas.

Resultados exatos. det, inverse, rank e solve_system usam frações exatas. rank não tem tolerância de arredondamento. solve_system relata um erro para um sistema singular e não lida com sistemas não lineares ou sistemas com um número infinito de soluções.

Resultados aproximados. eigenvalues, qr, lu e svd usam ponto flutuante e verificam se o resultado é finito. qr e svd aceitam matrizes retangulares e retornam fatores compactos ("thin"). Os cálculos de autovalores e SVD param após 10.000 iterações. Na resposta exibida, um elemento que representa apenas ruído de arredondamento em comparação com o maior elemento aparece como 0, mas acessá-lo pelo índice retorna o valor armazenado. Matrizes mal condicionadas podem perder precisão; por isso, não teste esses resultados com ==.

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# Two adult tickets and one child ticket cost 34; one adult and two children cost 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) resulta em [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) resulta em 3

rank([[1,2],[2,4]]) resulta em 1

Números complexos

i é a unidade imaginária, a menos que você tenha definido um nome ou uma unidade personalizada chamada i.

• Funções: complex(real, imaginary) real, imag, conj, abs, arg (em radianos) e sqrt (a raiz principal) aceitam números complexos.
• Exatidão: as partes, a aritmética e as potências com expoentes inteiros permanecem exatas. Raízes em geral e arg são aproximados.
• Resultados reais: quando partes imaginárias são canceladas, como em (2+3i) * (2-3i) a resposta é um valor numérico real comum. Um valor que você escreve como complexo, como -4 + 0i ou complex(-4,0), permanece complexo através da aritmética e dos nomes, mesmo que seja exibido como -4.
• Raízes quadradas e logaritmos de números negativos: sqrt(-4), ln(-1) e log(-100) permanecem em números reais e mostram um erro de número imaginário que soletra a forma complexa a ser escrita em vez disso, como sqrt(-4 + 0i). Isso, ou sqrt(complex(-4,0)), dá 2i.
• Exibição: uma parte que representa apenas resíduo de arredondamento de ponto flutuante aparece como 0; assim, exp(i*pi) exibe -1. O valor armazenado mantém seus dígitos.
• Comparações: < e > só funcionam quando ambas as partes imaginárias são zero.
• Outras funções: sin, cos, tan e seus inversos, as funções hiperbólicas e seus inversos, exp, ln, log ou log10, log2, cbrt e potências fracionárias ou complexas aceitam números complexos. Eles usam ponto flutuante e ramos principais. O logaritmo de zero, e qualquer resultado que não seja finito, é um erro.

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(2+3i) * (2-3i) resulta em 13

abs(3+4i) resulta em 5

sqrt(-4 + 0i) resulta em 2i

sqrt(complex(-4,0)) resulta em 2i

sqrt(-4) resulta em Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) resulta em -1

Somas e produtos

sum(expression, name, from, to) soma a expressão para cada inteiro de from a to, incluindo os dois extremos. summation é outro nome para a mesma função, e product multiplica em vez de somar.

• O nome é local para a chamada. Não altera um nome que você já definiu e não faz com que a linha dependa de um.
• Você pode colocar uma soma ou produto dentro de outro.
• Se to for menor que from, o intervalo está vazio: a soma é 0 e o produto é 1.
• Uma única chamada pode ter no máximo 10.000 termos.

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sum(k^2, k, 1, 10) resulta em 385

product(k, k, 1, 5) resulta em 120

k = 7 resulta em 7

sum(k, k, 1, 3) resulta em 6

k resulta em 7

Resolvendo equações

solve(equation) interpreta uma equação polinomial de grau 1 ou 2 com uma incógnita e calcula suas raízes. A incógnita é o único nome da equação que não tem um valor definido; um nome com valor é substituído por esse valor. O lado direito pode ser omitido; nesse caso, a expressão é igualada a zero.

• Uma equação linear retorna um número. Uma equação quadrática retorna uma lista de suas raízes reais distintas, em ordem crescente; portanto, uma raiz repetida resulta em uma lista com um elemento. O formato segue o grau escrito, não as raízes encontradas.
• Os coeficientes e seu rearranjo são exatos, assim como as raízes quando o discriminante é um quadrado perfeito. Qualquer outro quadrático dá duas raízes quadradas decimais.
• Ambos os lados devem ser números simples. Unidades, dinheiro e valores complexos são recusados.
• Uma equação sem raiz real dá Error: no real solution em vez de uma raiz complexa, e uma equação que cada valor satisfaz diz isso em vez de escolher um valor.
• Qualquer outra coisa — grau 3 e acima, uma equação não polinomial, o desconhecido em um divisor ou um expoente, um segundo nome sem um valor — é recusada com uma mensagem nomeando a forma de quatro argumentos abaixo.

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solve(2x + 6 = 10) resulta em 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) resulta em [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) resulta em [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) resulta em Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) é uma função diferente: encontra um valor real de name entre lower e upper, onde a expressão é zero. solve(left = right, name, lower, upper) encontra onde os dois lados são iguais.

• Os limites devem ser números finitos, com lower menor que upper.
• Uma raiz exatamente em um limite é aceita. Caso contrário, a expressão deve ser positiva em um limite e negativo no outro, e deve ser contínua no meio.
• A busca divide o intervalo pela metade a cada passo. Ela tem sucesso quando a expressão está a no máximo 1e-10 de zero e o intervalo é suficientemente estreito, em até 128 passos. Se a expressão for indefinida em algum ponto avaliado ou a busca não convergir, a linha mostra um erro.
• Encontra uma raiz, não todas. Para sistemas de equações lineares, use solve_system.

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solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) resulta em 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) resulta em 1.4142135624

Cálculo

Derivadas simbólicas

differentiate(expression, name), também escrito como derivative(expression, name), retorna a derivada como texto.

• Ele usa as regras de soma, produto, quociente, potência e cadeia na aritmética de números reais sem unidades, mais sin, cos, tan, sinh, cosh, exp, ln e sqrt.
• Outros nomes na expressão são tratados como constantes, tenham ou não um valor na nota: differentiate(a*x^2, x) dá (a*(2*(x^(2-1)))).
• O resultado não é simplificado e é limitado a 8.192 caracteres.
• Outras funções, como abs, são erros; use uma derivada em um ponto para essas. Este não é um sistema completo de álgebra de computador.
• A derivada tem as mesmas restrições de domínio que a expressão original.

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differentiate(sin(x), x) resulta em cos(x)

differentiate(x^3, x) resulta em (3*(x^(3-1)))

Derivadas em um ponto

derivative(expression, name, point), ou differentiate com três argumentos, calcula numericamente a inclinação em um ponto. Usa diferenças centrais refinadas e as compara com estimativas unilaterais. A expressão pode usar funções definidas por você, mas precisa ser suave perto do ponto e usar números reais sem unidades. Se a estimativa não convergir ou uma amostra for indefinida, a linha mostra um erro.

Como as formas numéricas calculam um número, todos os nomes, exceto a variável, precisam de um valor. Isso vale para derivadas em um ponto, sum, product, solve e integrate; um nome sem valor produz Unsupported: Unknown name: seguido do nome.

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derivative(x^3, x, 2) resulta em 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) resulta em 6

differentiate(a*x^2, x) resulta em (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) resulta em Unsupported: Unknown name: a

Integrais definidas

integrate(expression, name, lower, upper) calcula a área sob a expressão entre dois limites finitos.

• Trocar os limites altera o sinal da resposta, e limites iguais dão zero.
• São usadas regras adaptativas de Gauss–Kronrod de 7 e 15 pontos, com amostragem em posições não uniformes. Isso evita que uma onda regular como cos(128*pi*x) engane o cálculo: integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) resulta em aproximadamente -1.3e-15, que equivale a zero dentro do erro de arredondamento.
• Tem como objetivo uma estimativa de erro total de no máximo 1e-9 vezes o tamanho da resposta (ou 1e-9 para respostas menores que 1). Ele compara pelo menos dois níveis de detalhe, permite o erro de arredondamento e refina a peça com o maior erro estimado primeiro.
• Ele para após 2.048 refinamentos, 20 níveis de subdivisão ou os 100.000 passos compartilhados com outra matemática avançada na linha. Alcançar um limite, ou uma amostra indefinida, é um erro.
• A estimativa de erro é um bom guia, não uma garantia. Use expressões suaves e finitas. Os resultados para expressões com picos, saltos ou oscilação rápida podem ser imprecisos.
• Integrais indefinidas e limites infinitos não são suportados.

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integrate(x^2, x, 0, 3) resulta em 9

integrate(x^2, x, 3, 0) resulta em -9

Argumentos e unidades em funções matemáticas

• factorial é outro nome para fact, e trunc para int.
• sign retorna -1, 0 ou 1. atan2(y, x) retorna um ângulo em radianos como um número simples.
• O segundo argumento opcional de round, floor e ceil é um incremento, não um número de casas decimais: round(17, 5) arredonda para o múltiplo de 5 mais próximo. Para arredondar casas decimais, consulte Arredondamento.
• Logaritmos, exponenciais e funções hiperbólicas não aceitam unidades ou dinheiro. A trigonometria comum aceita ângulos como 30°.
• Raízes quadradas e cúbicas mantêm unidades quando o expoente é divisível pelo índice da raiz, e potências de grandezas mantêm suas unidades. Não é possível elevar temperaturas em Celsius ou Fahrenheit ao quadrado nem extrair suas raízes.

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gcd(12, 18) resulta em 6

round(17, 5) resulta em 15

sin(30°) resulta em 0.5

sqrt(9 m²) resulta em 3 m

(2 kg)^2 resulta em 4 kg²

Limites

Os limites são verificados antes que uma resposta seja mostrada:

• 1.024 itens em uma lista ou range
• Matrizes de até 32 × 32
• 10.000 termos em uma sum ou product
• 16 níveis de listas aninhadas e chamadas de função
• 100.000 etapas compartilhadas por toda a matemática avançada em uma linha, incluindo chamadas aninhadas
• 4.096 bits no numerador ou no denominador de uma fração, como no restante do Varlig Calc

Atingir um limite mostra um erro naquela linha; o restante da nota continua funcionando. Uma soma parcial, uma inversa incompleta ou uma raiz sem convergência nunca é apresentada como resposta. Para todos os limites e detalhes de exatidão, consulte Interpretar resultados: exibição e precisão.