الرياضيات المتقدمة: الميزات والحدود

تلخّص هذه الصفحة الرياضيات المتقدمة في Varlig Calc: القوائم والمتجهات والمصفوفات والأعداد المركّبة والمجاميع والجداءات وحل المعادلات وحساب التفاضل والتكامل. ولكل ميزة، توضح وظيفة الدوال ومدخلاتها ودقة نتائجها وحدودها. ارجع إليها للتحقق من التفاصيل عندما تفاجئك نتيجة.

لشروح تمهيدية وأمثلة إضافية، راجع القوائم والإحصاء والمتجهات والمصفوفات والأعداد المركّبة والمجاميع وحل المعادلات والتفاضل والتكامل.

في لمحة

القوائم والمصفوفات والأعداد المركّبة قيم عادية: يمكنك تسميتها وتمريرها إلى الدوال التي تعرّفها، وتُعاد حساباتها عندما تعدّل سطرا سابقا.

calcنسخ

squares(n) = sum(k^2, k, 1, n)

squares(3) الناتج 14

first(items) = items[0]

first([10, 20]) الناتج 10

root(y) = solve(x^2 = y, x, 0, 10)

root(9) الناتج 3

ما يضمنه محرّك الحساب

تستند كل العمليات في هذه الصفحة إلى قاعدة واحدة: إما أن يعطي الحساب نتيجة موثوقة، أو يعرض خطأ يوضح السبب. ولا يستبدل Varlig الحساب الدقيق بعدد يبدو معقولا فحسب.

دقة النتيجة

الدقة هنا تعني عدم إجراء أي تقريب بين قراءة السطر وعرض النتيجة؛ فتحافظ النتيجة الدقيقة على دقتها عند تسميتها وتخزينها وإعادة استخدامها. أما النتيجة التقريبية فهي قيمة عشرية محدودة الدقة، من النوع نفسه الذي تعيده sqrt. ولا يُضمن تقريبها الصحيح حتى آخر رقم ظاهر، لذلك لا تُعدّ مقارنة نتيجتين تقريبيتين باستخدام == اختبارا موثوقا: يعرض كل من solve(x^2 - 2 = 0) وsqrt(2) القيمة 1.4142135624، لكنهما غير متساويين.

لا تجمع نتيجة واحدة بين القيم الدقيقة والتقريبية. فإذا لم يكن مميّز المعادلة التربيعية مربعا كاملا، كان كلا جذريها تقريبيا.

وحدات

يؤدي خلط قيم ذات وحدات بقيم دون وحدات إلى خطأ، بدلا من قراءة الأعداد وحدها دون تنبيه. وهناك استثناء ثابت: يأخذ العدد المجرّد 0 وحدة القيم الأخرى.

الحالات غير المقبولة

لا تعطي أي من الحالات التالية عددا أو جملة. بل تعرض كل منها خطأ يوضح العملية غير الممكنة، والصيغة المدعومة البديلة إن وُجدت:

• معادلة كثيرة حدود بدرجة أكبر من 2، أو معادلة غير كثيرة حدود، أو مجهول في مقام أو أس، أو اسمان غير معرّفين، أو معادلة دون مجهول، أو معادلة تتضمن وحدات أو مبالغ مالية. وتوجّه كل حالة إلى الصيغة العددية لـsolve ذات الوسائط الأربعة.
• معادلة دون جذر حقيقي، بدلا من إرجاع جذر مركّب؛ ومعادلة تتحقق عند كل قيمة، بدلا من اختيار إحداها.
• عملية على مصفوفة ذات أبعاد غير متوافقة أو غير مربعة، أو طلب معكوس مصفوفة شاذة، أو عنصر ليس عددا مجرّدا.
• استخدام mode عندما لا تتكرر أي قيمة أو تتعادل عدة قيم في التكرار، أو مئين خارج النطاق 0 إلى 100، أو ربيع خارج النطاق 0 إلى 4، أو أي إحصاء غير sum وproduct وcount لقائمة فارغة.

العمليات التالية غير مدعومة عمدا في أي موضع: إعادة الترتيب الرمزي بما يتجاوز تجميع معاملات كثيرة الحدود، وأنظمة المعادلات غير الخطية، والجذور المركّبة لمعادلة حقيقية، والمصفوفات التي تحتوي وحدات أو مبالغ مالية، والتكامل الرمزي، والرسم البياني.

الرسائل نفسها مدرجة في الأخطاء والتشخيصات والحدود.

كتابة القوائم والدوال الرياضية

• تفصل الفواصل بين العناصر والوسائط. تفصل الفاصلة المتبوعة بمسافة بين القيم دائما، وتفصل الفاصلة المتبوعة بثلاثة أرقام بالضبط بين الآلاف؛ لذلك تحتوي [1,200, 1,800] على عنصرين. ومن دون مسافات، تفصل كل فاصلة بين قيم، كما في [12,-51,4]. وإذا احتملت الفواصل التفسيرين، كما في [1,234]، تعرض رسالة الخطأ طريقتَي الكتابة. استخدم النقطة العشرية للجزء الكسري من العدد.
• المصفوفات هي قوائم الصفوف، مثل [[1,2],[3,4]]. لا يوجد اختصار لفاصلة منقوطة مثل [1,2;3,4].
• تبدأ الفهارس من 0 ويجب أن تكون أعدادا صحيحة غير سالبة. ويؤدي الفهرس الذي يتجاوز نهاية القائمة إلى خطأ؛ فلا يعود إلى بدايتها ولا يُخفض تلقائيا إلى قيمة ضمن حدودها.
• يُتحقق من عدد الوسائط. ينتج عن sqrt(4,9) خطأ بدلا من تخمين المقصود.

القوائم والإحصاء

تقبل الدوال التالية قائمة: length أو count، وsum، وproduct، وaverage أو mean، وmedian، وmin، وmax، وmode وmodes، وpercentile وquartile، ودوال التشتت variance وsample_variance وpopulation_variance وstddev وsample_stddev وpopulation_stddev.

• تعطي mode نتيجة فقط عندما تكون قيمة واحدة أكثر تكرارا من جميع القيم الأخرى. وإذا تعادلت قيم في أعلى تكرار أو لم تتكرر أي قيمة، يظهر خطأ يقترح modes أو median أو average. وتعطي modes جميع القيم الأكثر تكرارا.
• تأخذ percentile(list, rank) رتبة بين 0 و100 وتستخدم الاستيفاء الخطي بين أقرب رتبتين، وفق التعريف الشامل: فالمئين الخمسون هو الوسيط، والمئينان صفر ومئة هما أصغر قيمة وأكبرها. وتأخذ quartile(list, k) عددا صحيحا k بين 0 و4، وتعادل percentile(list, 25k).
• تحسب variance وstddev إحصاءات العينة، بالقسمة على n - 1، وتتطلبان قيمتين على الأقل. وتقسم population_variance وpopulation_stddev على n وتتطلبان قيمة واحدة على الأقل. والاسمان sample_variance وsample_stddev صيغتان أطول للاسمين المختصرين.
• قائمة فارغة تحتوي على sum بقيمة 0، وproduct بقيمة 1، وcount بقيمة 0. تُعد إحصائيات أخرى لقائمة فارغة أخطاءً.
• تُجمع قائمتان بالطول نفسه أو تُطرحان عنصرا بعنصر. ويمكن ضرب قائمة في عدد أو قسمتها عليه، ومقارنة قائمتين باستخدام ==.
• range(start, end, step) يشمل كلا الطرفين. الخطوة اختيارية.
• تحسب dot(a, b) الجداء القياسي لمتجهين حقيقيين.

calcنسخ

spend = [420, 385, 510, 460] الناتج [420, 385, 510, 460]

sum(spend) الناتج 1,775

average(spend) الناتج 443.75

median(spend) الناتج 440

spend[0] الناتج 420

spend * 1.1 الناتج [462, 423.5, 561, 506]

range(0, 1, 0.25) الناتج [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]

تحويلات القوائم

• تتطلب slice حدودا صحيحة تحقق 0 ≤ start ≤ end ≤ طول القائمة. وتؤدي الحدود الأخرى إلى خطأ.
• تتطلب variance عددين على الأقل دون وحدات.
• map و filter يأخذان التعبير أولاً، ثم الاسم المستخدم لكل عنصر، ثم القائمة. الاسم ينطبق فقط داخل الاستدعاء، لذا لا يغير اسمًا حددته في مكان آخر. يجب أن يعطي التعبير في filter true أو false.

المتجهات والمصفوفات

المتجهات قوائم أحادية المستوى، والمصفوفات قوائم من الصفوف. ويجب أن تكون المصفوفة مستطيلة، وأن تحتوي أعدادا حقيقية دون وحدات، وأن يكون عدد صفوفها وأعمدتها من 1 إلى 32.

نتائج دقيقة. تستخدم det وinverse وrank وsolve_system كسورا دقيقة. ولا تستخدم rank هامش تسامح للتقريب. وتعرض solve_system خطأ للنظام الشاذ، ولا تعالج الأنظمة غير الخطية أو الأنظمة ذات عدد لا نهائي من الحلول.

نتائج تقريبية. تستخدم eigenvalues وqr وlu وsvd حسابات الفاصلة العائمة وتتحقق من أن النتائج منتهية. وتقبل qr وsvd مصفوفات مستطيلة وتعيدان عوامل التحليل المختصرة. وتتوقف حسابات القيم الذاتية وSVD بعد 10,000 تكرار. وفي النتيجة المعروضة، يظهر العنصر الذي لا يمثل إلا أثر خطأ التقريب مقارنة بأكبر عنصر كصفر، بينما تعيد فهرسته القيمة المخزنة. وقد تقل دقة المصفوفات سيئة التكييف، لذلك لا تختبر هذه النتائج باستخدام ==.

calcنسخ

# Two adult tickets and one child ticket cost 34; one adult and two children cost 29

solve_system([[2,1],[1,2]], [34,29]) الناتج [13, 8]

det([[2,1],[1,2]]) الناتج 3

rank([[1,2],[2,4]]) الناتج 1

الأعداد المركبة

i هي الوحدة التخيلية، إلا إذا كنت قد حددت اسمًا أو وحدة مخصصة تسمى i.

• الدوال: تقبل complex(real, imaginary) وreal وimag وconj وabs وarg (بالراديان) وsqrt (الجذر الرئيسي) الأعداد المركّبة.
• الدقة: يظل الجزءان والعمليات الحسابية والرفع إلى أس صحيح دقيقة. أما الجذور العامة وarg فتعطي نتائج تقريبية.
• نتائج حقيقية: عندما تتلاشى الأجزاء التخيلية، كما في (2+3i) * (2-3i)، تكون النتيجة عددا حقيقيا عاديا. أما القيمة المكتوبة صراحة كعدد مركّب، مثل -4 + 0i أو complex(-4,0)، فتحتفظ بنوعها المركّب خلال العمليات الحسابية والإسناد إلى الأسماء، حتى إن ظهرت بالشكل -4.
• الجذور التربيعية ولوغاريتمات الأعداد السالبة: تبقى sqrt(-4) وln(-1) وlog(-100) ضمن مجال الأعداد الحقيقية، وتعرض خطأ يتعلق بعدد تخيلي يوضح الصيغة المركّبة البديلة، مثل sqrt(-4 + 0i). وتعطي هذه الصيغة، أو sqrt(complex(-4,0))، النتيجة 2i.
• العرض: يظهر الجزء الناتج فقط عن خطأ تقريب الفاصلة العائمة كصفر؛ لذلك يعرض exp(i*pi) النتيجة -1. وتحتفظ القيمة المخزنة بأرقامها.
• المقارنات: يعمل < و> فقط إذا كان الجزء التخيلي لكلتا القيمتين صفرا.
• دوال أخرى: تقبل sin وcos وtan ودوالها العكسية، والدوال الزائدية وعكسها، وexp وln وlog أو log10 وlog2 وcbrt، والأسس الكسرية أو المركّبة، الأعداد المركّبة. وهي تستخدم الفاصلة العائمة والفروع الرئيسية. ويؤدي لوغاريتم الصفر أو أي ناتج غير منتهٍ إلى خطأ.

calcنسخ

(2+3i) * (2-3i) الناتج 13

abs(3+4i) الناتج 5

sqrt(-4 + 0i) الناتج 2i

sqrt(complex(-4,0)) الناتج 2i

sqrt(-4) الناتج Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-4 + 0i)

exp(i*pi) الناتج -1

المجاميع والجداءات

sum(expression, name, from, to) يجمع التعبير لكل عدد صحيح من from إلى to، بما في ذلك كلا الطرفين. summation هو اسم آخر له، وproduct يضرب بدلاً من ذلك.

• يقتصر نطاق الاسم على الاستدعاء. فلا يغيّر اسما عرّفته سابقا، ولا يجعل السطر يعتمد عليه.
• يمكنك تضمين مجموع أو جداء داخل مجموع أو جداء آخر.
• إذا كانت to أقل من from، يكون النطاق فارغا: المجموع 0 والجداء 1.
• يمكن أن يتضمن الاستدعاء الواحد 10,000 حدّ على الأكثر.

calcنسخ

sum(k^2, k, 1, 10) الناتج 385

product(k, k, 1, 5) الناتج 120

k = 7 الناتج 7

sum(k, k, 1, 3) الناتج 6

k الناتج 7

حل المعادلات

تقرأ solve(equation) معادلة كثيرة حدود من الدرجة الأولى أو الثانية بمجهول واحد وتحسب جذورها. والمجهول هو الاسم الوحيد الذي لا يحمل قيمة في المعادلة؛ أما الاسم المعرّف فتُستخدم قيمته. ويمكن حذف الطرف الأيمن، وعندئذ يُساوى التعبير بالصفر.

• تعطي المعادلة الخطية النتيجة كعدد. أما المعادلة التربيعية فتعطي قائمة جذورها الحقيقية المختلفة بترتيب تصاعدي؛ فيظهر الجذر المكرر في قائمة من عنصر واحد. ويتحدد شكل النتيجة بدرجة المعادلة المكتوبة، لا بعدد الجذور الموجودة.
• تكون المعاملات وإعادة ترتيبها دقيقة، وكذلك الجذور عندما يكون المميّز مربعا كاملا. وفي الحالات التربيعية الأخرى، يُحسب الجذران بقيم عشرية تقريبية للجذر التربيعي.
• يجب أن يكون الطرفان أعدادا مجرّدة. ولا تُقبل الوحدات أو المبالغ المالية أو القيم المركّبة.
• تعرض المعادلة التي ليس لها جذر حقيقي Error: no real solution بدلا من جذر مركّب. والمعادلة التي تتحقق عند جميع القيم توضح ذلك بدلا من اختيار قيمة.
• تُرفض الحالات الأخرى — الدرجة الثالثة فأعلى، أو المعادلة غير كثيرة الحدود، أو المجهول في مقام أو أس، أو وجود اسم ثان غير معرّف — برسالة تشير إلى صيغة الوسائط الأربعة أدناه.

calcنسخ

solve(2x + 6 = 10) الناتج 2

solve(x^2 - 5x + 6 = 0) الناتج [2, 3]

solve(x^2 - 2 = 0) الناتج [-1.4142135624, 1.4142135624]

solve(x^2 + 1 = 0) الناتج Error: no real solution

solve(expression, name, lower, upper) هي دالة مختلفة: فهي تجد قيمة حقيقية واحدة لـ name بين lower و upper حيث يكون التعبير صفرًا. solve(left = right, name, lower, upper) تجد حيث تكون الجانبين متساويين.

• يجب أن يكون الحدّان عددين منتهيين، وأن تكون lower أقل من upper.
• يُقبل الجذر الواقع تماما عند أحد الحدّين. وفي غير ذلك، يجب أن يكون التعبير موجبا عند أحدهما وسالبا عند الآخر، وأن يكون مستمرا بينهما.
• ينصّف البحث الفترة في كل خطوة. وينجح عندما لا تبعد قيمة التعبير عن الصفر بأكثر من 1e-10 وتصبح الفترة ضيقة بما يكفي، خلال 128 خطوة. وإذا كان التعبير غير معرّف عند إحدى نقاط التحقق أو لم يتقارب البحث، يعرض السطر خطأ.
• إنه يجد جذرا واحدا، وليس كلهم. بالنسبة لأنظمة المعادلات الخطية، استخدم solve_system.

calcنسخ

solve(1500 + 12*x = 20*x, x, 0, 1000) الناتج 187.5

solve(x^2 = 2, x, 0, 2) الناتج 1.4142135624

التفاضل والتكامل

المشتقات الرمزية

تعيد differentiate(expression, name)، التي يمكن كتابتها أيضا derivative(expression, name)، المشتقة كنص.

• تستخدم قواعد الجمع والضرب والقسمة والقوة والسلسلة على حسابات الأعداد الحقيقية دون وحدات، وتدعم أيضا sin وcos وtan وsinh وcosh وexp وln وsqrt.
• تُعامل الأسماء الأخرى في التعبير كثوابت، سواء كانت لها قيمة في الملاحظة أم لا: يعطي differentiate(a*x^2, x) النتيجة (a*(2*(x^(2-1)))).
• النتيجة ليست مبسطة، وتقتصر على 8192 حرفا.
• تؤدي الدوال الأخرى، مثل abs، إلى خطأ؛ استخدم لها الاشتقاق عند نقطة. فهذه الإمكانية ليست نظام جبر حاسوبي متكاملا.
• تخضع المشتقة لقيود المجال نفسها التي يخضع لها التعبير الأصلي.

calcنسخ

differentiate(sin(x), x) الناتج cos(x)

differentiate(x^3, x) الناتج (3*(x^(3-1)))

المشتقات عند نقطة

تحسب derivative(expression, name, point)، أو differentiate بثلاثة وسائط، الميل عدديا عند نقطة. وتستخدم فروقا مركزية محسّنة وتتحقق منها بمقارنتها بتقديرات أحادية الجانب. ويمكن للتعبير استخدام دوال عرّفتها، لكنه يجب أن يكون أملس قرب النقطة وأن يستخدم أعدادا حقيقية دون وحدات. وإذا لم يستقر التقدير أو كانت قيمة عند إحدى نقاط العينة غير معرّفة، يعرض السطر خطأ.

لأن الأشكال العددية تحسب قيمة عددية، يحتاج كل اسم باستثناء المتغير إلى قيمة. ينطبق هذا على المشتقات عند نقطة، sum، product، solve و integrate؛ الاسم بدون قيمة يظهر Unsupported: Unknown name: متبوعًا بالاسم.

calcنسخ

derivative(x^3, x, 2) الناتج 12

f(x) = x^2

derivative(f(x), x, 3) الناتج 6

differentiate(a*x^2, x) الناتج (a*(2*(x^(2-1))))

derivative(a*x^2, x, 3) الناتج Unsupported: Unknown name: a

تكاملات محددة

تحسب integrate(expression, name, lower, upper) المساحة تحت منحنى التعبير بين حدّين منتهيين.

• تبديل الحدود يغير علامة الإجابة، والحدود المتساوية تعطي صفرا.
• يستخدم قواعد غاوس-كرونرود التكيفية ذات 7 و15 نقطة، والتي تقوم بأخذ العينات عند النقاط غير المنتظمة. وهذا يمنع موجة منتظمة مثل cos(128*pi*x) من خداعها: integrate(cos(128*pi*x), x, 0, 1) تعطي حوالي -1.3e-15، وهو صفر ضمن التقريب.
• تهدف إلى تقدير خطأ إجمالي لا يتجاوز 1e-9 مضروبا في مقدار النتيجة، أو 1e-9 للنتائج التي يقل مقدارها عن 1. وتقارن مستويين من التفصيل على الأقل، وتأخذ خطأ التقريب في الحسبان، وتحسّن أولا الجزء ذي أكبر خطأ مقدّر.
• تتوقف بعد 2,048 عملية تحسين أو 20 مستوى من التقسيم أو 100,000 خطوة مشتركة مع العمليات الرياضية المتقدمة الأخرى في السطر. ويؤدي بلوغ أحد الحدود أو وجود قيمة غير معرّفة عند نقطة عينة إلى خطأ.
• تقدير الخطأ مؤشر مفيد، لكنه ليس ضمانا. استخدم تعبيرات ملساء ومنتهية القيم. فقد تكون نتائج التعبيرات ذات القمم الحادة أو القفزات أو التذبذب السريع غير دقيقة.
• التكاملات غير المحددة والحدود اللانهائية غير مدعومة.

calcنسخ

integrate(x^2, x, 0, 3) الناتج 9

integrate(x^2, x, 3, 0) الناتج -9

الوسائط والوحدات في الدوال الرياضية

• الاسم factorial بديل لـfact، وtrunc بديل لـint.
• تعيد sign القيمة -1 أو 0 أو 1. وتعطي atan2(y, x) زاوية بالراديان كعدد مجرّد.
• الوسيط الثاني الاختياري في round وfloor وceil هو خطوة التقريب، وليس عدد المنازل العشرية: تقرّب round(17, 5) إلى أقرب مضاعف للعدد 5. وللتقريب إلى منازل عشرية، راجع التقريب.
• لا تقبل اللوغاريتمات والدوال الأسية والزائدية وحدات أو مبالغ مالية. وتقبل الدوال المثلثية المعتادة زوايا مثل 30°.
• تحتفظ الجذور التربيعية والتكعيبية بالوحدات عندما تقبل الأسس القسمة دون باق، وتحتفظ قوى الكميات بوحداتها. ولا يمكن تربيع درجات الحرارة بسلسيوس أو فهرنهايت أو استخراج جذورها.

calcنسخ

gcd(12, 18) الناتج 6

round(17, 5) الناتج 15

sin(30°) الناتج 0.5

sqrt(9 m²) الناتج 3 m

(2 kg)^2 الناتج 4 kg²

الحدود

يتم التحقق من الحدود قبل عرض الإجابة:

• 1,024 عنصرًا في قائمة أو range
• مصفوفات تصل إلى 32 × 32
• 10,000 حدّ في استدعاء واحد لـsum أو product
• 16 مستوى لتداخل القوائم واستدعاءات الدوال
• 100,000 خطوة تشترك فيها جميع العمليات الرياضية المتقدمة في السطر، بما فيها الاستدعاءات المتداخلة
• 4,096 بت في بسط الكسر أو مقامه، كما في بقية Varlig Calc

يؤدي بلوغ أحد الحدود إلى خطأ في السطر المعني، وتستمر بقية الملاحظة في العمل. ولا تُعرض نتيجة جزئية لمجموع أو معكوس، أو جذر لم يتقارب، كأنها نتيجة مكتملة. للاطلاع على جميع الحدود ودقة النتائج، راجع قراءة النتائج: العرض والدقة.