सम्मिश्र संख्याएँ

सम्मिश्र संख्या में वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग होता है। काल्पनिक भाग i से लिखा जाता है, जो −1 का वर्गमूल है। यह पेज सम्मिश्र संख्याएँ लिखना, उन पर अंकगणित करना, उनका मापांक और कोणांक निकालना, ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल और सम्मिश्र मान स्वीकार करने वाले गणितीय फ़ंक्शन समझाता है।

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न हों, AC परिपथ या संकेतों पर काम कर रहे हों, या सम्मिश्र विश्लेषण की पढ़ाई का कोई प्रश्न जाँचना हो, तो इसका उपयोग करें।

सम्मिश्र संख्याएँ लिखना

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2 + 3i परिणाम 2 + 3i

complex(3, -4) परिणाम 3 - 4i

i^2 परिणाम -1

काल्पनिक भाग के लिए संख्या के ठीक बाद i लिखें, जैसे 3i या 1.5i, या अकेला i इस्तेमाल करें। complex(real, imaginary) दो भागों से वही मान बनाता है। भागों के नाम हों तो यह सुविधाजनक है, जैसे complex(resistance, reactance)। दोनों भाग बिना इकाई वाली संख्याएँ होने चाहिए।

i का अर्थ काल्पनिक इकाई तभी है जब नोट में किसी और चीज़ का नाम i न हो। i नाम का मान या अपनी इकाई परिभाषित करते ही वही परिभाषा प्राथमिकता ले लेती है:

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i = 5

2 + 3i परिणाम 17

complex(2, 3) परिणाम 2 + 3i

यहाँ 3i का अर्थ 3 × 5 हो गया और पंक्ति का उत्तर 17 आया। नाम नोट के दूसरे गणना ब्लॉक में भी लागू होते हैं, इसलिए नोट में कहीं पहले लिखा i = … यही असर करता है। सम्मिश्र संख्याओं वाले नोट में i को नाम देने से बचें। complex(2, 3) इस नाम का उपयोग नहीं करता, इसलिए वह फिर भी काम करता है।

अंकगणित

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(2 + 3i) + (1 - 5i) परिणाम 3 - 2i

(1 + 2i) * (3 - i) परिणाम 5 + 5i

(2 + 3i) * (2 - 3i) परिणाम 13

10 / (3 + 4i) परिणाम 1.2 - 1.6i

(1 + i)^8 परिणाम 16

जोड़, घटाव, गुणा, भाग और पूर्णांक घात सटीक होते हैं। परिणाम का काल्पनिक भाग शून्य हो, जैसे (2 + 3i) * (2 - 3i) में, तो उत्तर साधारण संख्या के रूप में दिखता है। गुणा या भाग करते समय हर सम्मिश्र संख्या को कोष्ठकों में रखें, ताकि (2 + 3i) * (2 - 3i) का अर्थ 2 + (3i * 2) - 3i न लिया जाए।

सम्मिश्र संख्या के भाग

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z = 3 + 4i

real(z) परिणाम 3

imag(z) परिणाम 4

conj(z) परिणाम 3 - 4i

abs(z) परिणाम 5

arg(1 + i) परिणाम 0.7853981634

arg(1 + i) rad in degrees परिणाम 45°

फ़ंक्शन	देता है
`real(z)`	वास्तविक भाग
`imag(z)`	काल्पनिक भाग, बिना इकाई वाली संख्या के रूप में
`conj(z)`	सम्मिश्र संयुग्मी: वास्तविक भाग वही, काल्पनिक भाग का चिह्न उलटा
`abs(z)`	मापांक: शून्य से दूरी
`arg(z)`	कोणांक: धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण, रेडियन में

arg कोणांक को −π से π के बीच रेडियन की संख्या के रूप में देता है। डिग्री में देखने के लिए उसे रेडियन की इकाई देकर रूपांतरण करें, जैसा आखिरी पंक्ति में है। मापांक और कोण से सम्मिश्र संख्या बनाने के लिए exp इस्तेमाल करें: 2 * exp(i * pi / 3) का मान 1 + 1.7320508076i है।

ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल

साधारण ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्याओं की गणना माना जाता है। इसलिए sqrt(-16) यह त्रुटि दिखाता है, जिसमें सही रूप भी बताया गया है: Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-16 + 0i)। सम्मिश्र मूल पाने के लिए संख्या को सम्मिश्र रूप में लिखें: उसमें 0i जोड़ें या complex(…, 0) इस्तेमाल करें:

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sqrt(-16 + 0i) परिणाम 4i

sqrt(complex(-16, 0)) परिणाम 4i

sqrt(3 + 4i) परिणाम 2 + i

sqrt(2i) परिणाम 1 + i

sqrt मुख्य वर्गमूल देता है, जिसका वास्तविक भाग धनात्मक होता है (ऋणात्मक संख्या के लिए काल्पनिक भाग धनात्मक होता है)। दूसरा वर्गमूल उसका ऋणात्मक होता है।

जिस मान को सम्मिश्र रूप में लिखें, वह सम्मिश्र ही रहता है, भले ही उसका काल्पनिक भाग शून्य हो। उसे किसी नाम में रखकर या आगे गणना करके इस्तेमाल कर सकते हैं। x = -16 + 0i के बाद sqrt(x) का उत्तर 4i होता है, भले ही x स्क्रीन पर -16 दिखे।

इससे द्विघात सूत्र किसी भी द्विघात समीकरण के लिए काम करता है:

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# Roots of x^2 + 2x + 5 = 0

a = 1

b = 2

c = 5

disc = b^2 - 4*a*c परिणाम -16

(-b + sqrt(disc + 0i)) / (2*a) परिणाम -1 + 2i

(-b - sqrt(disc + 0i)) / (2*a) परिणाम -1 - 2i

घनमूल भी मुख्य मूल वाला नियम मानते हैं। इसलिए ऋणात्मक संख्याओं पर परिणाम अप्रत्याशित लग सकता है:

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cbrt(-8) परिणाम -2

cbrt(-8 + 0i) परिणाम 1 + 1.7320508076i

दोनों −8 के घनमूल हैं। वास्तविक रूप वास्तविक मूल देता है; सम्मिश्र रूप मुख्य सम्मिश्र मूल देता है।

सम्मिश्र संख्या के फ़ंक्शन

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exp(i * pi) परिणाम -1

ln(-1 + 0i) परिणाम 3.1415926536i

i^i परिणाम 0.2078795764

cos(i) परिणाम 1.5430806348

sinh(i) परिणाम 0.8414709848i

2^i परिणाम 0.7692389014 + 0.6389612763i

ये फ़ंक्शन सम्मिश्र मान स्वीकार करते हैं:

sin, cos, tan और उनके व्युत्क्रम asin, acos, atan
sinh, cosh, tanh और उनके व्युत्क्रम asinh, acosh, atanh
exp, ln, log (या log10), log2, sqrt और cbrt
भिन्नात्मक या सम्मिश्र घातांक वाली घातें, जैसे i^0.5 या 2^i

ये बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना करते हैं, इसलिए उत्तर निकट सन्निकटन होते हैं। राउंडिंग से बची अत्यंत छोटी त्रुटियाँ स्क्रीन पर 0 दिखाई जाती हैं। इसलिए exp(i * pi) अपेक्षित पाठ्यपुस्तक वाला उत्तर −1 दिखाता है। सहेजे गए मान में सभी अंक बने रहते हैं। ऐसे परिणामों की तुलना में == के बजाय जाँचें कि अंतर बहुत छोटा है, जैसे abs(exp(i * pi) + 1) < 1e-9।

हर फ़ंक्शन अपनी मुख्य शाखा से एक उत्तर देता है। सम्मिश्र संख्या के अनंत लघुगणक और एक से अधिक मूल हो सकते हैं; यहाँ मानक वाला मिलता है। sqrt की तरह वास्तविक इनपुट वास्तविक गणना ही रहते हैं। ln(-1) और log(-100) काल्पनिक संख्या वाली त्रुटि तथा आज़माने योग्य सम्मिश्र रूप दिखाते हैं, जबकि ln(-1 + 0i) का उत्तर πi है। शून्य का लघुगणक त्रुटि देता है।

केवल वास्तविक संख्याओं के लिए अर्थ रखने वाले फ़ंक्शन, जैसे floor और round, सम्मिश्र मान स्वीकार नहीं करते।

सम्मिश्र संख्याओं की तुलना

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2 + 3i == complex(2, 3) परिणाम true

2 + 3i != 2 - 3i परिणाम true

complex(3, 0) >= 3 परिणाम true

abs(3 + 4i) > abs(1 + 2i) परिणाम true

== और != किसी भी सम्मिश्र मान पर काम करते हैं। <, <=, > और >= तभी काम करते हैं जब दोनों पक्षों का काल्पनिक भाग शून्य हो, क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं का स्वाभाविक छोटा-बड़ा क्रम नहीं है। इसलिए i < 2 त्रुटि देता है। परिमाण की तुलना के लिए आखिरी पंक्ति की तरह abs से मापांक तुलना करें। सम्मिश्र संख्याएँ क्रम में नहीं लगाई जा सकतीं।

पूर्ण नियम उन्नत गणित संदर्भ में हैं।

इसे एक साथ रखना

AC परिपथ के इस प्रश्न की जाँच करें: 10 V आपूर्ति से श्रेणीक्रम में जुड़े 30 Ω प्रतिरोधक और 40 Ω प्रतिघात वाले प्रेरक:

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# Series circuit: 30 Ω resistor, 40 Ω reactance, 10 V supply

resistance = 30

reactance = 40

z = complex(resistance, reactance) परिणाम 30 + 40i

abs(z) परिणाम 50

current = 10 / z परिणाम 0.12 - 0.16i

abs(current) परिणाम 0.2

arg(z) rad in degrees to 1 dp परिणाम 53.1°

प्रतिबाधा 30 + 40i है और उसका परिमाण 50 Ω है। इसलिए धारा 0.2 A है और वोल्टेज से लगभग 53.1° पीछे है। इंजीनियर काल्पनिक इकाई के लिए अक्सर j लिखते हैं; Varlig में हमेशा i है। ओम, वोल्ट और एम्पियर टिप्पणी में लिखे हैं, क्योंकि सम्मिश्र संख्या के भागों में इकाइयाँ नहीं हो सकतीं।