จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เขียนโดยใช้ i ซึ่งเป็นรากที่สองของ −1 หน้านี้อธิบายการเขียนจำนวนเชิงซ้อน การคำนวณเลขคณิต การแยกเป็นโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ การหารากที่สองของจำนวนลบ และฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่รองรับค่าเชิงซ้อน

ใช้เมื่อสมการกำลังสองไม่มีรากจริง เมื่อคำนวณวงจรกระแสสลับหรือสัญญาณ หรือเมื่อตรวจงานเรียนด้านการวิเคราะห์เชิงซ้อน

การเขียนจำนวนเชิงซ้อน

calcคัดลอก

2 + 3i ได้ผลลัพธ์เป็น 2 + 3i

complex(3, -4) ได้ผลลัพธ์เป็น 3 - 4i

i^2 ได้ผลลัพธ์เป็น -1

ใส่ i ต่อจากค่าตัวเลขสำหรับส่วนเชิงจินตภาพโดยตรง เช่น 3i หรือ 1.5i หรือใช้ i เพียงอย่างเดียว complex(real, imaginary) จะสร้างค่าเดียวกันจากสองส่วน ซึ่งมีประโยชน์เมื่อส่วนเหล่านั้นเป็นชื่อ: complex(resistance, reactance) ทั้งสองส่วนต้องเป็นตัวเลขธรรมดาโดยไม่มีหน่วย

i หมายถึงหน่วยจินตภาพเฉพาะเมื่อยังไม่มีสิ่งอื่นในโน้ตใช้ชื่อ i หากคุณกำหนดตัวแปรหรือหน่วยของตัวเองชื่อ i ค่านั้นจะเข้ามาแทนที่:

calcคัดลอก

i = 5

2 + 3i ได้ผลลัพธ์เป็น 17

complex(2, 3) ได้ผลลัพธ์เป็น 2 + 3i

ในตัวอย่างนี้ 3i กลายเป็น 3 × 5 บรรทัดจึงให้ผลลัพธ์ 17 ชื่อที่กำหนดใช้ต่อข้ามบล็อกคำนวณในโน้ตเดียวกันได้ ดังนั้นการเขียน i = … ไว้ก่อนหน้านี้ที่ใดก็ตามในโน้ตจะมีผลเหมือนกัน ควรหลีกเลี่ยงการใช้ i เป็นชื่อตัวแปรในโน้ตที่คำนวณจำนวนเชิงซ้อน ส่วน complex(2, 3) ไม่อาศัยชื่อนี้ จึงยังใช้ได้

เลขคณิต

calcคัดลอก

(2 + 3i) + (1 - 5i) ได้ผลลัพธ์เป็น 3 - 2i

(1 + 2i) * (3 - i) ได้ผลลัพธ์เป็น 5 + 5i

(2 + 3i) * (2 - 3i) ได้ผลลัพธ์เป็น 13

10 / (3 + 4i) ได้ผลลัพธ์เป็น 1.2 - 1.6i

(1 + i)^8 ได้ผลลัพธ์เป็น 16

การบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มให้ผลแบบแม่นตรง หากส่วนจินตภาพของผลลัพธ์เป็นศูนย์ เช่น (2 + 3i) * (2 - 3i) คำตอบจะแสดงเป็นตัวเลขทั่วไป ใส่วงเล็บครอบจำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนเมื่อคูณหรือหาร เพื่อให้ (2 + 3i) * (2 - 3i) ไม่ถูกอ่านเป็น 2 + (3i * 2) - 3i

ส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อน

calcคัดลอก

z = 3 + 4i

real(z) ได้ผลลัพธ์เป็น 3

imag(z) ได้ผลลัพธ์เป็น 4

conj(z) ได้ผลลัพธ์เป็น 3 - 4i

abs(z) ได้ผลลัพธ์เป็น 5

arg(1 + i) ได้ผลลัพธ์เป็น 0.7853981634

arg(1 + i) rad in degrees ได้ผลลัพธ์เป็น 45°

arg คืนค่ามุมในหน่วยเรเดียนเป็นตัวเลขที่ไม่มีหน่วยกำกับ ระหว่าง −π ถึง π หากต้องการแสดงเป็นองศา ให้กำกับว่าค่านั้นเป็นเรเดียนแล้วแปลงตามบรรทัดสุดท้าย หากต้องการสร้างจำนวนเชิงซ้อนจากโมดูลัสและมุม ใช้ exp เช่น 2 * exp(i * pi / 3) ได้ 1 + 1.7320508076i

รากกําลังสองของจํานวนลบ

การหารากที่สองของจำนวนลบที่เขียนตามปกติจะถูกคำนวณในระบบจำนวนจริง ดังนั้น sqrt(-16) จะแสดงข้อผิดพลาดพร้อมแนะนำวิธีเขียน: Error: imaginary number. For a complex answer, write sqrt(-16 + 0i) หากต้องการรากเชิงซ้อน ให้เขียนค่านั้นเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วยการเติม 0i หรือใช้ complex(…, 0):

calcคัดลอก

sqrt(-16 + 0i) ได้ผลลัพธ์เป็น 4i

sqrt(complex(-16, 0)) ได้ผลลัพธ์เป็น 4i

sqrt(3 + 4i) ได้ผลลัพธ์เป็น 2 + i

sqrt(2i) ได้ผลลัพธ์เป็น 1 + i

sqrt คืนรากหลัก ซึ่งมีส่วนจริงเป็นบวก หรือสำหรับจำนวนลบ จะมีส่วนจินตภาพเป็นบวก รากที่สองอีกค่าคือค่าตรงข้ามของรากหลัก

ค่าที่เขียนเป็นจำนวนเชิงซ้อนจะยังเป็นจำนวนเชิงซ้อน แม้ส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ คุณตั้งชื่อหรือคำนวณต่อด้วยค่านั้นได้ เช่น หลังจากกำหนด x = -16 + 0i แล้ว sqrt(x) จะได้ 4i แม้ x จะแสดงเป็น -16

วิธีนี้ทำให้ใช้สูตรหาคำตอบสมการกำลังสองได้กับสมการกำลังสองทุกสมการ:

calcคัดลอก

# Roots of x^2 + 2x + 5 = 0

a = 1

b = 2

c = 5

disc = b^2 - 4*a*c ได้ผลลัพธ์เป็น -16

(-b + sqrt(disc + 0i)) / (2*a) ได้ผลลัพธ์เป็น -1 + 2i

(-b - sqrt(disc + 0i)) / (2*a) ได้ผลลัพธ์เป็น -1 - 2i

รากที่สามใช้กฎรากหลักเช่นเดียวกัน ซึ่งอาจให้ผลที่ไม่คุ้นเคยเมื่อคำนวณจำนวนลบ:

calcคัดลอก

cbrt(-8) ได้ผลลัพธ์เป็น -2

cbrt(-8 + 0i) ได้ผลลัพธ์เป็น 1 + 1.7320508076i

ทั้งสองค่าเป็นรากที่สามของ −8 รูปแบบจำนวนจริงให้รากจริง ส่วนรูปแบบจำนวนเชิงซ้อนให้รากเชิงซ้อนหลัก

ฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน

calcคัดลอก

exp(i * pi) ได้ผลลัพธ์เป็น -1

ln(-1 + 0i) ได้ผลลัพธ์เป็น 3.1415926536i

i^i ได้ผลลัพธ์เป็น 0.2078795764

cos(i) ได้ผลลัพธ์เป็น 1.5430806348

sinh(i) ได้ผลลัพธ์เป็น 0.8414709848i

2^i ได้ผลลัพธ์เป็น 0.7692389014 + 0.6389612763i

ฟังก์ชันเหล่านี้รองรับค่าเชิงซ้อน:

• sin, cos, tan และผกผัน asin, acos, atan
• sinh, cosh, tanh และฟังก์ชันผกผัน asinh, acosh, atanh
• exp, ln, log (หรือ log10), log2, sqrt และ cbrt
• การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนหรือจำนวนเชิงซ้อน เช่น i^0.5 หรือ 2^i

ฟังก์ชันเหล่านี้ใช้เลขทศนิยมลอยตัวฐานสอง คำตอบจึงเป็นค่าประมาณที่ใกล้เคียง เศษคลาดเคลื่อนจากการปัดที่เล็กมากจะแสดงเป็น 0 ดังนั้น exp(i * pi) จึงแสดงเป็น −1 ตามคำตอบในตำรา แต่ค่าที่เก็บไว้ยังมีทุกหลัก เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์เหล่านี้ ให้ตรวจว่าผลต่างเล็กเพียงพอ เช่น abs(exp(i * pi) + 1) < 1e-9 แทนการใช้ ==

แต่ละฟังก์ชันให้คำตอบเดียวจากสาขาหลัก จำนวนเชิงซ้อนมีค่าลอการิทึมได้อนันต์ค่าและมีรากได้หลายค่า โดยระบบเลือกค่าหลักตามมาตรฐาน เช่นเดียวกับ sqrt หากป้อนจำนวนจริง การคำนวณจะยังอยู่ในระบบจำนวนจริง ln(-1) และ log(-100) จึงแสดงข้อผิดพลาดจำนวนจินตภาพพร้อมรูปแบบเชิงซ้อนที่ให้ลอง ส่วน ln(-1 + 0i) ให้ πi การหาลอการิทึมของศูนย์จะเกิดข้อผิดพลาด

ฟังก์ชันที่มีความหมายเฉพาะกับจำนวนจริง เช่น floor และ round ไม่รองรับค่าเชิงซ้อน

การเปรียบเทียบจำนวนเชิงซ้อน

calcคัดลอก

2 + 3i == complex(2, 3) ได้ผลลัพธ์เป็น true

2 + 3i != 2 - 3i ได้ผลลัพธ์เป็น true

complex(3, 0) >= 3 ได้ผลลัพธ์เป็น true

abs(3 + 4i) > abs(1 + 2i) ได้ผลลัพธ์เป็น true

== และ != ใช้กับค่าเชิงซ้อนได้ทุกค่า ส่วน <, <=, > และ >= ใช้ได้เฉพาะเมื่อทั้งสองข้างมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ เพราะจำนวนเชิงซ้อนไม่มีลำดับตามธรรมชาติ i < 2 จึงเกิดข้อผิดพลาด หากต้องการเปรียบเทียบขนาด ให้ใช้ abs เปรียบเทียบโมดูลัสตามบรรทัดสุดท้าย จำนวนเชิงซ้อนไม่สามารถนำมาเรียงลำดับได้

อ่านข้อกำหนดทั้งหมดได้ในเอกสารอ้างอิงคณิตศาสตร์ขั้นสูง

ตัวอย่างการใช้ร่วมกัน

ตัวอย่างนี้ใช้ตรวจคำตอบโจทย์วงจรกระแสสลับ: ตัวต้านทาน 30 Ω ต่ออนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำที่มีรีแอกแตนซ์ 40 Ω โดยใช้แหล่งจ่าย 10 V:

calcคัดลอก

# Series circuit: 30 Ω resistor, 40 Ω reactance, 10 V supply

resistance = 30

reactance = 40

z = complex(resistance, reactance) ได้ผลลัพธ์เป็น 30 + 40i

abs(z) ได้ผลลัพธ์เป็น 50

current = 10 / z ได้ผลลัพธ์เป็น 0.12 - 0.16i

abs(current) ได้ผลลัพธ์เป็น 0.2

arg(z) rad in degrees to 1 dp ได้ผลลัพธ์เป็น 53.1°

อิมพีแดนซ์คือ 30 + 40i มีขนาด 50 Ω กระแสจึงเท่ากับ 0.2 A และมีเฟสล้าหลังแรงดันประมาณ 53.1° วิศวกรมักใช้ j แทนหน่วยจินตภาพ แต่ Varlig ใช้ i เสมอ หน่วยโอห์ม โวลต์ และแอมป์จึงระบุในความคิดเห็น เพราะส่วนประกอบของจำนวนเชิงซ้อนไม่สามารถมีหน่วยกำกับได้