Ergebnisse lesen: Anzeige und Genauigkeit

Diese Seite erklärt, wie Varlig das Ergebnis neben jeder Zeile anzeigt: wie viele Nachkommastellen du siehst, wann große Zahlen abgekürzt werden, wie Geldbeträge gerundet werden, wie jede Art von Ergebnis aussieht und wie genau die Zahlen hinter den Ergebnissen sind. Du kannst sie von oben nach unten als Anleitung lesen oder direkt zu einer Tabelle springen, wenn dir ein Ergebnis seltsam vorkommt. Die Grenzen dessen, was eine einzelne Zeile leisten kann, stehen gegen Ende.

Gespeicherte Werte und angezeigte Ergebnisse

Jede Zeile arbeitet in zwei Schritten. Zuerst wird die Rechnung ausgeführt und der vollständige Wert gespeichert. Dann wird das Ergebnis lesbar formatiert, was auch Runden bedeuten kann. Das Runden betrifft nur das, was du siehst.

Verwendet eine spätere Zeile einen Namen, rechnet sie mit dem vollständigen Wert, nicht mit den gerundeten Ziffern:

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Anteil = 250 / 3 ergibt 83.3333333333

Anteil * 3 ergibt 250

Tippst du die angezeigten Ziffern in eine neue Zeile ab, rechnest du stattdessen mit der gerundeten Zahl. Verwende den Namen, um die volle Genauigkeit zu behalten.

Nachkommastellen

Ergebnisse zeigen bis zu zehn Nachkommastellen, wobei die letzte Stelle gerundet wird. Nullen am Ende werden weggelassen: Du siehst 0.75 statt 0.7500000000.

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2 / 3 ergibt 0.6666666667

1 / 8 ergibt 0.125

Umrechnungen über die Dichte einer Zutat zeigen höchstens neun signifikante Stellen, so genau wie die Dichte selbst. 1 cup sugar in grams zeigt also 200 g. Der gespeicherte Wert behält alle Ziffern.

Um eine andere Anzahl von Nachkommastellen anzuzeigen, änderst du den Standardwert unter Settings; die Rechenoptionen dort akzeptieren 0 bis 15. Für eine einzelne Zeile verwendest du die Formatierungsoptionen im Kontextmenü dieser Zeile. Beides ändert nur die Anzeige.

Um den Wert selbst zu runden, schreibst du to 2 dp. Spätere Zeilen rechnen dann mit dem gerundeten Wert. Gerundet wird bei der Hälfte von null weg: 2.345 to 2 dp ergibt 2.35 und round(-2.5) ergibt -3.

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exakt = 2 / 3 ergibt 0.6666666667

gerundet = 2 / 3 to 2 dp ergibt 0.67

exakt * 3 ergibt 2

gerundet * 3 ergibt 2.01

Weitere Möglichkeiten zum Runden findest du unter Runden.

Geldbeträge

Geldbeträge folgen den Regeln ihrer Währung statt der Voreinstellung von zehn Nachkommastellen:

• Gerundet auf die Genauigkeit der Währung. Die meisten Währungen haben zwei Nachkommastellen, Yen keine und Kuwait-Dinar drei. Die Währungsreferenz listet sie alle auf.
• Nullen am Ende bleiben stehen. $15 wird als $15.00 angezeigt.
• Kleine positive Beträge behalten ihre Ziffern. Ein Betrag unter einem Cent wie $0.004 wird nicht auf $0.00 gerundet.
• Preise pro Einheit behalten bis zu vier Nachkommastellen, so wie du sie geschrieben hast. Ein Stromtarif von £0.075/kWh oder ein Spritpreis von £1.499/L erscheint also vollständig. Beträge in Pence oder Cent ebenso: 6.2p wird als £0.062 angezeigt und 24.5p/kWh als £0.245/kWh, während ein daraus berechneter Gesamtbetrag auf den Penny genau herauskommt: 148.9p/L * 45 L ergibt £67.01. Bei mehr Nachkommastellen zeigt ein Preis unter £1 vier signifikante Stellen (£0.12345/kWh wird als £0.1235/kWh angezeigt), und andere Preise wie £8/kg / 3 werden auf den Penny gerundet.
• Kryptowährungen zeigen bis zu zehn Nachkommastellen, wie einfache Zahlen.

Eine Zeile, die einem Namen einen Geldbetrag zuweist, zeigt den Betrag genauso an wie jede andere Zeile. Der Name behält den vollständigen Wert, sodass spätere Zeilen, die ihn verwenden, exakt bleiben.

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£250 / 3 ergibt £83.33

Rechnung = £250 / 3 ergibt £83.33

Rechnung * 3 ergibt £250.00

¥1,250 / 4 ergibt ¥313

£0.075/kWh ergibt £0.075/kWh

£8/kg / 3 ergibt £2.67/kg

Mit den Währungsoptionen unter Settings kannst du das Runden auf die Genauigkeit der Währung ausschalten, Codes statt Symbolen anzeigen (15.00 USD statt $15.00) oder Nullen am Ende weglassen ($15 statt $15.00).

Große und kleine Zahlen

Ab 100.000 werden einfache Zahlen mit einem Buchstaben abgekürzt: k für Tausend, M für Million, G für Milliarde, T für Billion und P für Billiarde. Sehr große und sehr kleine Zahlen wechseln in die wissenschaftliche Schreibweise.

Geldbeträge unter einer Million erscheinen vollständig und auf den Cent genau, damit eine Abkürzung nie einen Teil eines Betrags verschluckt, den du zahlst oder verdienst: £199,999.98 bleibt £199,999.98. Ab einer Million werden auch Geldbeträge abgekürzt, mit B, wo einfache Zahlen G verwenden, und mit höchstens drei Nachkommastellen.

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250000 ergibt 250k

£99,999.99 * 2 ergibt £199,999.98

$1234567.89 ergibt $1.235M

8,100,000,000 ergibt 8.1G

$1,234,567,890 ergibt $1.235B

0.0000001 ergibt 1e-7

Der Buchstabe ändert nur die Anzeige. 1.5 million wird als 1.500.000 gespeichert und als 1.5M angezeigt, und 3bn erscheint als 3G. Unter 100.000 verwenden Ergebnisse Tausendertrennzeichen (99,999).

Eine Zahl mit Einheit wird immer voll ausgeschrieben, weil ein Buchstabe neben einer Einheit wie ein Präfix aussehen würde: 175,200 Wh könnte sonst wie Kilowattstunden wirken. Nur Werte über 10¹⁷ oder unter 0,000001 wechseln in die wissenschaftliche Schreibweise.

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175200 Wh ergibt 175,200 Wh

1 light year in km ergibt 9,460,730,472,580.8 km

Unter Settings kannst du die Kurzformen ausschalten, sodass Zahlen voll ausgeschrieben werden, oder die Tausendertrennzeichen abschalten.

Arten von Ergebnissen

Jede Art von Wert hat ihr eigenes Format. Diese Tabelle zeigt für jede Art ein oder zwei Beispiele.

Einige Formate hängen vom heutigen Datum ab. Bei einem Datum im laufenden Jahr wird die Jahreszahl weggelassen, und Daten nahe am heutigen Tag können als relatives Wort erscheinen:

calcErgebnisse hängen vom heutigen Datum oder von Live-Daten abKopieren

March 12 ergibt March 12

tomorrow at 1am ergibt Tomorrow at 1:00 AM

Zwei weitere Anzeigen solltest du kennen:

• Kein Ergebnis und kein Fehler bedeutet, dass die Zeile nichts anzuzeigen hat: ein Kommentar, eine Leerzeile, eine Funktionsdefinition oder eine unfertige Zeile wie Gesamt =.
• pending… bedeutet, dass die Zeile Daten braucht, die noch nicht verfügbar sind.

Wie genau Ergebnisse sind

Exakte Arithmetik

Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche werden exakt gespeichert. Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten halten sie exakt, auch Brüche wie ⅓, die keine exakte Dezimaldarstellung haben. Vergleiche mit == prüfen die exakten Werte, ohne zu runden.

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0.1 + 0.2 == 0.3 ergibt true

1/3 + 1/3 + 1/3 == 1 ergibt true

Quadratwurzeln sind exakt, wenn sich die Wurzel exakt darstellen lässt, und sonst auf 38 signifikante Stellen genau (weitere Stellen werden abgeschnitten, nicht gerundet). Die Standardabweichung verwendet dieselbe Quadratwurzel. gcd und lcm sind exakt, nie negativ und arbeiten mit Brüchen, ohne sie vorher zu runden.

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sqrt(2.25) ergibt 1.5

sqrt(1e-64) ergibt 1e-32

gcd(12, 18) ergibt 6

Näherungswerte

Manche Operationen lassen sich nicht exakt ausführen. Sie verwenden daher binäre Gleitkommazahlen, die nur auf eine begrenzte Anzahl von Stellen genau sind:

• Trigonometrie, Logarithmen und Exponentialfunktionen
• Potenzen mit nicht ganzzahligem Exponenten wie 2^0.5 und wissenschaftliche Literale mit gebrochenem Exponenten wie 1e2.5
• einige Einheitenumrechnungen
• das Lösen von Gleichungen, numerische Ableitungen und Integrale
• Matrixzerlegungen und Eigenwerte
• Funktionen komplexer Zahlen, die über die Grundrechenarten hinausgehen

Da == exakte Werte vergleicht, können zwei Näherungswerte gleich aussehen und trotzdem nicht gleich sein. Vergleiche stattdessen die Differenz mit einer kleinen Toleranz:

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sqrt(2)^2 ergibt 2

sqrt(2)^2 == 2 ergibt false

abs(sqrt(2)^2 - 2) < 0.000000001 ergibt true

Wähle eine Toleranz, die zur Größenordnung deiner Zahlen passt. Zehn Nachkommastellen auf dem Bildschirm garantieren nicht zehn richtige Nachkommastellen, vor allem nicht bei schwierigen numerischen Problemen.

In Listen, Matrizen und komplexen Zahlen wird ein Anteil, der nur aus Rundungsfehlern der Gleitkommarechnung besteht und weit kleiner ist als die Werte drumherum, als 0 angezeigt. So bleiben Ergebnisse wie eine Matrixzerlegung oder exp(i * pi) lesbar. Der gespeicherte Wert behält seine Ziffern, daher gilt dieselbe Prüfung mit Toleranz:

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exp(i * pi) ergibt -1

abs(exp(i * pi) + 1) < 0.000000001 ergibt true

Größe von Zahlen

• Dezimalzahlen werden als ganze Zahl bis 2¹²⁸−1 (etwa 38 Stellen) gespeichert, multipliziert mit einer Zehnerpotenz von 10⁻¹²⁸ bis 10¹²⁷. Zahlen jenseits von 1e127 funktionieren weiterhin, solange ihre Ziffern hineinpassen.
• Brüche können Zähler und Nenner mit jeweils bis zu 4096 Bit haben.
• Addierst du eine winzige Zahl zu einer riesigen, kann der winzige Anteil verloren gehen: 1e30 + 0.001 zeigt 1e30.
• Verlässt ein Ergebnis beim Multiplizieren oder Potenzieren den Wertebereich, erscheint Error: ∞, egal ob das Ergebnis zu groß oder zu klein ist. Die Rechnung springt nie auf einen falschen Wert um.

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1e30 + 0.001 ergibt 1e30

1e100 * 1e100 ergibt Error: ∞

Grenzen

Jede Zeile muss innerhalb dieser Grenzen bleiben. Wird eine erreicht, erscheint nur in dieser Zeile ein Fehler, meist Error: calculation limit, und der Rest der Notiz funktioniert weiter. Eine Teilsumme oder ein unfertiges Ergebnis wird nie als Ergebnis ausgegeben. Um das zu beheben, verkleinerst du den Bereich, die Matrix, die Verschachtelung oder das Problem.

Varlig Calc unterstützt derzeit keine allgemeine symbolische Algebra, keine unbestimmten Integrale, keine nichtlinearen Gleichungssysteme, keine historischen Kryptokurse, keine Würfelnotation wie 2d6, kein Rechnen mit Unsicherheiten wie 10 ± 0.5 und keine verketteten Vergleiche wie 1 < x < 5. Mehr dazu, wie die Funktionen für höhere Mathematik arbeiten, erfährst du unter Höhere Mathematik: Möglichkeiten und Grenzen.

Alles zusammen

Hier ein Reisebudget, das die meisten Regeln auf dieser Seite nutzt:

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Flüge = £1,284.60 ergibt £1,284.60

Hotel = £96.50 * 4 ergibt £386.00

Gesamt = Flüge + Hotel ergibt £1,670.60

ProKopf = Gesamt / 3 ergibt £556.87

ProKopf * 3 ergibt £1,670.60

ProKopf / Gesamt as % ergibt 33.3333333333%

ProKopf / Gesamt as fraction ergibt ⅓

Gesamt to 0 dp ergibt £1,671.00

Gesamt * 1000 ergibt £1.671M

• ProKopf = Gesamt / 3 zeigt den Anteil auf Pence gerundet, während der Name den vollständigen Wert behält.
• ProKopf * 3 rechnet mit diesem vollständigen Wert und kommt daher genau auf £1,670.60 statt auf £1,670.61.
• Der Prozentsatz ist kein Geldbetrag und zeigt daher zehn Nachkommastellen. Als Bruch ist er exakt.
• to 0 dp rundet den Wert selbst, und die Nullen am Ende bleiben stehen, weil es ein Geldbetrag ist.
• Die Multiplikation mit 1000 überschreitet 1.000.000, daher wird das Ergebnis zu £1.671M abgekürzt.